Delta-x-Methode

Daher gilt:

Jetzt muss der Zähler vereinfacht werden. Dazu benutzen wir die erste binomische Formel , um die Klammer zu quadrieren:

Die Zahlen 1 und -1 im Zähler heben sich weg. Das müssen sie auch unbedingt, weil sie kein enthalten. Es muss nämlich grundsätzlich alles wegfallen, was kein enthält. (Sonst könnte man nachher nämlich nicht ausklammern. Vergleiche unten!)

Wir klammern jetzt im Zähler aus, das ergibt dann:

Nun kürzen wir △x weg:

Da jetzt △x nicht mehr im Nenner steht, kann nun der Grenzwert berechnet werden. Man setzt dazu △x jetzt wirklich gleich Null. Dadurch wird aus der Sekantensteigung genau die Tangentensteigung.

Das Gleichnullsetzen von △x klappt nun auch, weil △x nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner steht und somit der Nenner nicht mehr gleich Null wird, wenn man △x gleich Null setzt. Vorher hätten wir △x nicht gleich Null setzen können, weil dann eben der Nenner Null ergeben hätte und die Division durch Null bekanntlich nicht definiert ist.

Wir rechnen den Limes aus, indem wir für △x die Zahl Null einsetzen:

Die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt ist daher genau 2.

Hier noch einmal das Wichtigste allgemein zusammengefasst:

Man leitet die Tangentensteigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle auf folgende Art und Weise aus der Sekantensteigung her.

Der Hilfspunkt wird in Gedanken  beliebig nah an den festen Punkt herangeschoben;man lässt also gegen Null gehen. Dadurch kommt man von der Sekantensteigung zur gesuchten Tangentensteigung:

Wir nennen dieses Verfahren zur Berechnung der Tangentensteigung auf dieser website die „Delta-x-Methode“. Das ist aber keine offizielle Bezeichnung. Im Allgemeinen wird dies einfach als Berechnung der Tangentensteigung mit dem Differenzialquotienten bezeichnet.

Hier noch einmal die wichtigsten Schritte, wie du an einer bestimmten Stelle die Tangentensteigung, d.h. die Ableitung einer Funktion , mit der „Delta-x-Methode“ berechnen kannst.

Geg.: Anleitung zur Berechnung der Tangentensteigung im Punkt mit dem Differenzialquotienten nach der „Delta-x-Methode“: Ansatz: ·         Für die x-Koordinate des gegebenen Punktes P in die Formel einsetzen ·         Zähler des Ausdrucks so weit möglich vereinfachen, d.h. Klammern ausrechnen, evtl. binomische Formelnanwenden und zusammenfassen (Es muss im Zähler alles wegfallen, was kein enthält! Wenn das nicht der Fall ist, hast du dich verrechnet.) ·         Im Zähler ausklammern ·         Mit kürzen ·         Grenzwert berechnen, indem du für die Zahl Null einsetzt Das Ergebnis ist eine konkrete Zahl, welche die Steigung der Funktion / der Tangente im Kurvenpunkt angibt.

Wie oben schon erwähnt, heißt dies auch „lokales Differenzieren“.

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