Delta-x-Methode
Es geht darum, wie steil bzw. flach die Kurve in diesem einen Punkt ist, also wie stark sich der Funktionswert 
im Vergleich zu x ändert, aber nicht in einem Intervall, sondern nur in einem Punkt. Man nennt dies auch die lokale Änderungsrate von im Punkt P. Auf den Begriff der lokalen Änderungsrate wird im 7. Bsp. und 8. Bsp. noch ausführlich eingegangen.
Mit Hilfe des Differenzialquotienten kann die erste Ableitung 
an der Stelle 
berechnet werden. Mit ist nichts anderes als die Tangentensteigung an der Stelle gemeint; entspricht somit unserer alten Bezeichnung m für die Steigung.
Wir halten allgemein fest:
Die Tangentensteigung im Kurvenpunkt 
wird auch erste Ableitung, kurz Ableitung der Funktion genannt. Man schreibt dafür: 
Die Tangentensteigung an der Stelle , also die Ableitung , kann mit Hilfe des Differenzialquotienten durch Grenzübergang (d.h. Berechnung des Grenzwertes) ermittelt werden.
Wenn dieser Grenzwert existiert, sagt man:Die Funktion ist an der Stelle differenzierbar. Man kann die Steigung der Funktion, d.h. die Tangentensteigung, an dieser Stelle berechnen. Das Berechnen der Ableitung an einer bestimmten Stelle nennt man „lokales differenzieren“ bzw. „lokales ableiten“ der Funktion 
. Die Ableitung gibt die lokale Änderungsrate im Kurvenpunkt an. Die Ermittlung von 
an einer beliebigen Stelle x heißt „global differenzieren“ oder „globales ableiten“.
Es gibt aber auch Funktionen, deren Steigung in vereinzelten Punkten nicht berechnet werden kann. Hat eine Funktion beispielsweise einen Knick, kann an dieser Stelle die Steigung der Funktion, also ihre Ableitung, nicht angegeben werden. Dort ist die Funktion nicht differenzierbar. Mehr dazu findest du im Kapitel Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
Nun wollen wir uns aber endlich anschauen, wie man mit Hilfe des Differenzialquotienten die Tangentensteigung 
der Funktion 
an der Stelle 
konkret ausrechnet. Los geht´s!
Allgemeiner Ansatz für 
:
Einsetzen der gegebenen Zahl 1 für in den allgemeinen Ansatz des Differenzialquotienten ergibt:
Jetzt muss man 
und 
bilden. Dazu brauchen wir jetzt die Funktionsgleichung .
Du weißt: 
bedeutet, dass für x der Wert 1 in die Funktionsgleichung, also in unserem Beispiel in , eingesetzt werden soll.
Entsprechend bedeutet , dass für x der Ausdruck 1 +△x in die Funktionsgleichung, also in unserem Beispiel , eingesetzt werden soll.
