Delta-x-Methode
Will man beispielsweise die absolute Geschwindigkeitsänderung von der ersten bis zur dritten Sekunde berechnen, benötigt man die Geschwindigkeit zu Beginn des Zeitintervalls, also zum Zeitpunkt , und die Geschwindigkeit am Ende des Zeitintervalls, also zum Zeitpunkt . Die zugehörigen Werte der Geschwindigkeit und können entweder mit der Funktionsgleichung berechnet oder in diesem Fall einfach aus der Wertetabelle entnommen werden;da haben wir diese Werte schon berechnet. Es gilt: und .
Absolute Geschwindigkeitsänderung von der ersten bis zur dritten Sekunde:
So ändert sich die Geschwindigkeit von der ersten bis zur dritten Sekunde um .
Die mittlere (durchschnittliche) Änderung der Geschwindigkeit erhält man, wenn man die absolute Geschwindigkeitsänderung relativ zur dabei vergangenen Zeit betrachtet. Man berechnet die mittlere Geschwindigkeitsänderung, indem man die absolute Geschwindigkeitsänderung durch die bei der Bewegung vergangene Zeit dividiert.
Mittlere Geschwindigkeitsänderung:
Die Einheit der mittleren Geschwindigkeitsänderung ist dementsprechend pro Sekunde, also .
Da das Auto in diesem Beispiel immer schneller wird, sagt man auch umgangssprachlich:„Es beschleunigt.“ Je mehr sich die Geschwindigkeit innerhalb einer bestimmten Zeit ändert, desto größer ist die Beschleunigung. Die Beschleunigung a ist schließlich die relative Veränderung der Geschwindigkeit im Vergleich zur Zeit. Die durchschnittliche Beschleunigung im Zeitintervall [ ist somit nichts anderes als die mittlere Geschwindigkeitsänderung in diesem Zeitabschnitt. In anderen Worten:Als durchschnittliche Beschleunigung bezeichnet man die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit . Dies ist der Differenzenquotient der Funktion . In der nächsten Teilaufgabe wird als konkretes Beispiel die mittlere Beschleunigung für t [1;3] berechnet.
Der Differenzenquotient gibt hier also die mittlere Geschwindigkeitsänderung, d.h. die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall [ an.
Als Momentanbeschleunigung bezeichnet man dagegen die Beschleunigung des Sportwagens zu einem bestimmten Zeitpunkt , also nicht innerhalb eines Zeitintervalls, sondern in einem Moment. (Daher auch die Bezeichnung.) Diese momentane Beschleunigung entspricht der sogenannten momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit. Man erhält sie durch Grenzübergang, indem man die Länge des Zeitintervalls gegen Null gehen lässt.