Delta-x-Methode
| Fassen wir noch einmal alles, was du an diesem Beispiel lernen solltest, zusammen:
Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere (durchschnittliche) Änderungsrate innerhalb eines Intervalls von |
bis 
. Darunter versteht man die Veränderung des Funktionswertes 
.Von der mittleren Änderungsrate ist die sogenannte lokale Änderungsrate zu unterscheiden. Im nächsten Beispiel wollen wir klären, was man unter dem Begriff der lokalen Änderungsrate versteht, und wie sie berechnet wird.
7. Bsp.:Brücke
Eine Brücke folgt einem parabelförmigen Bogen. Legt man den Ursprung des Koordinatensystems genau senkrecht unter den höchsten Punkt der Brücke hat diese Parabel die Gleichung 
mit x 
[-50;50]. Dabei gibt 
die Höhe über dem Erdboden in Metern an. Vergleiche dazu die folgende Abbildung! Ein Fußgänger überquert diese Brücke;er geht dabei von Punkt A(-50|0) über B(0|6,25) zu C(50|0).
Abb.: Graph der Parabel 
mit x [-50;50]
a.) Berechne die absolute Höhenänderung, also den absoluten Höhenunterschied (in Metern), den der Fußgänger zwischen den Punkten A und B überwindet!
b.) Berechne die mittlere (durchschnittliche) Höhenänderung des Fußgängers, also die durchschnittliche Steigung der Brücke, zwischen den Punkten A und B! (Dies kann man auch als mittlere Änderungsrate der Höhe im Intervall von 
bis 
bezeichnen.)
c.) Auf seinem Weg von A nach B passiert der Fußgänger der Reihe nach unteranderem die Punkte 
und 
. Berechne die durchschnittliche Steigung der Brücke, zwischen den Punkten A und , den Punkten A und 
, den Punkten A und 
sowie Punkten A und 
. Ermittle dann durch Grenzübergang, welche Steigung die Brücke genau im Punkt A hat! (Die Steigung in einem bestimmten Punkt kann man auch als lokale Änderungsrate der Höhe bezeichnen.)
Lösung:
Zu 7a.)
Die Koordinaten der Punkte A und B sind bereits angegeben:
A(-50|0) und B(0|6,25)
Wegen 
befindet sich der Fußgänger im Punkt A noch auf Höhe des Erdbodens.
Wegen 
befindet sich der Fußgänger im Punkt B in 6,25 m über dem Erdboden.
Der absolute Höhenunterschied berechnet sich natürlich mit 
und beträgt somit 6,25 m. Das ist hoffentlich klar. Dazu hätte man eigentlich gar keine Rechnung gebraucht;das sieht man ja schon in der Abbildung.
Wir halten fest:Der absolute Höhenunterschied zwischen zwei Punkten 
und 
kann auch als absolute Wertänderung der Funktion 
bezeichnet werden.
