Delta-x-Methode
An der Stelle x = 0 lässt sich die Ableitung 
also nicht berechnen, obwohl die Funktion selbst dort definiert ist. Man sagt:Die Funktion 
ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar. Das bedeutet, dass an dieser Stelle die Steigung der Funktion nicht berechnet werden kann. Das liegt in diesem Fall daran, dass die Tangente an die Wurzelfunktion 
bei x = 0 senkrecht verläuft. Ihre Steigung wäre demnach unendlich groß. Betrachte dazu die folgende Abbildung!
Abb.: Graph der Wurzelfunktion mit senkrechter Tangente (rot) im Punkt (0|0)
Damit sind wir mit dieser Aufgabe fertig! Den Trick mit dem Erweitern zur dritten binomischen Formel bei der Berechnung des Differenzialquotienten einer Funktion mit Wurzel solltest du dir gut merken.
Und gleich noch ein interessantes Beispiel:
5. Bsp.:
Gegeben ist die Funktion 
mit ihrer maximalen Definitionsmenge 
a.) Berechne die Ableitungsfunktion 
mit Hilfe des Differenzialquotienten!
b.) Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graph 
im Kurvenpunkt 
!
Lösung:
Zu 5a.)
Allgemeiner Ansatz für den Differenzialquotient:
Dieses Mal ersetzen wir gleich zu Beginn 
durch x. (Du kannst das natürlich auch erst am Ende deiner Rechnung machen. Es soll hier nur auch einmal anders herum gezeigt werden.)
Versuche es doch ´mal selbst, den Differenzialquotienten für die Funktion 
zu bilden!
Zur Erinnerung: 
bildest du, indem du für x in die Funktionsgleichung 
einsetzt.
Hast du es selbst probiert? Dann müsstest du eigentlich zu folgendem Ergebnis gekommen sein:
Nun muss das Ganze aber noch so umgeformt werden, dass sich 
wieder herauskürzen lässt. Als erstes bringen wir die beiden Brüche im Zähler des Differenzialquotienten auf einen gemeinsamen Nenner. Der Hauptnenner ist natürlich 
, deshalb muss der erste Bruch mit x und der zweite Bruch mit erweitert werden.
Nun wollen wir den Doppelbruch beseitigen. Dazu stellen wir uns den Hauptbruchstrich (den längsten Bruchstrich) als 
vor. Statt dem im Nenner kann man sich auch den Bruch 
denken. Da man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, kann an Stelle der Division durch den Bruch auch eine Multiplikation mit dem Kehrbruch 
vorgenommen werden. Das geht dann folgendermaßen:
Jetzt kann weggekürzt und der Grenzwert berechnet werden:
Somit haben wir die Ableitungsfunktion 
der Funktion ermittelt.
Zu 5b.)
