Funktionsgleichungen mit gegebenen Eigenschaften aufstellen und Funktionen modellieren

An Stelle von kann man daher auch schreiben.

Hinweis:

Würden sich die beiden Funktionen dagegen nur schneiden, aber nicht berühren, läge zwar der Schnittpunkt auf beiden Funktionen, d.h. die Funktionswerte wären an dieser Stelle gleich, aber die Funktionen hätten verschiedene Tangenten. Die Tangentensteigungen wären dann unterschiedlich und somit die ersten Ableitungen an dieser Stelle nicht gleich.

Abb. 2:Zwei Funktionen, die sich im Punkt S schneiden, mit den zugehörigen Tangenten

Jetzt fassen wir noch einmal alles übersichtlich zusammen, was wir inzwischen über die Parabel wissen:

Allgemeiner Ansatz:

Erste Ableitung:

Ab jetzt dürfte es kein Problem mehr für dich sein, die Aufgabe zu lösen. Stelle die drei benötigten Gleichungen auf und berechne die Unbekannten a, b und c alleine, ohne vorher die folgende Lösung anzuschauen!

Zu deiner Kontrolle, hier die komplette Lösung:

Wir verwenden hier das Additionsverfahren. (Du kannst natürlich auch mit dem Einsetzungsverfahren arbeiten, wenn dir das lieber ist.) Wir subtrahieren III. von I., um b zu eliminieren.

Wir berechnen b, indem wir den soeben berechneten Wert in I. für a einsetzen. (Man kann natürlich auch in III. einsetzen.)

Die verbleibende Unbekannte c berechnen wir durch Einsetzen von a und b in II.

Hier noch einmal

a und b in II.:

Nun kennen wir alle Koeffizienten:

Wir müssen sie nur noch in den allgemeinen Ansatz einsetzen und schon haben wir die Gleichung der Parabel ermittelt. Die Parabelgleichung lautet:

Damit ist die Aufgabe gelöst. In der folgenden Abbildung kannst du die Graphen der Funktionen und sehen. Außerdem ist ihre gemeinsame Tangente im Punkt eingezeichnet.

Abb.: Graphen der Funktionen und mit gemeinsamer Tangente an der Stelle

Wundere dich nicht darüber, dass die Tangente an der Stelle an die beiden Graphen und den Graph bei schneidet! Natürlich hast du prinzipiell Recht, wenn du denkst, dass eine Tangente den Graph nur berühren, aber nicht schneiden darf. Doch gilt das nur an einer bestimmten Stelle und der näheren Umgebung dieser Stelle.

Die Gerade ist an der Stelle wirklich Tangente an (und an . Sie berührt bei , schneidet aber auch noch an der Stelle .

Merke:Eine Tangente berührt den zugehörigen Funktionsgraph an einer bestimmten Stelle, kann ihn aber etwas weiter entfernt auch noch schneiden!

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