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Funktionsgleichungen mit gegebenen Eigenschaften aufstellen und Funktionen modellieren

Damit du einen Funktionsterm aufstellen kannst, brauchst du als erstes natürlich einen allgemeinen Ansatz. In den meisten Aufgaben ist dieser nicht angegeben;du musst ihn dir dann selbst überlegen. Der benötigte allgemeine Ansatz hängt logischerweise davon ab, was für eine Funktion gesucht ist, ob z.B. eine Polynomfunktion 3. Grades oder 4. Grades gesucht ist, oder ob die Funktion vielleicht eine Symmetrie zum Koordinatensystem aufweist. (Punktsymmetrisch zum Ursprung oder Achsensymmetrisch zur y-Achse. Mehr dazu bei Symmetrieverhalten) Die wichtigsten Ansätze findest du in der Tabelle Nr. 2.

Manchmal sind auch verschiedene Ansätze möglich, zum Beispiel für ein Polynom dritten Grades der „normale“ Ansatz und der in der faktorisierten Form, d.h. Produktform . Dabei stellen und die Nullstellen der Funktion dar. Sind bei einer Polynomfunktion n.-ten Grades alle n Nullstellen bekannt, lässt sich der Funktionsterm mit Hilfe der faktorisierten Form wesentlich schneller aufstellen als mit dem „normalen“ Ansatz. Das funktioniert aber nur dann, wenn wirklich alle n Nullstellen gegeben sind. (Der Buchstabe n steht hier für eine natürliche Zahl, also zum Beispiel für die Zahl 3.) Denke daran, dass eine Polynomfunktion n.-ten Grades höchstes n verschiedene Nullstellen besitzen kann.

Ein Polynom dritten Grades kann deshalb höchstens drei Nullstellen haben. Sind also von einer Polynomfunktion dritten Grades drei verschiedene Nullstellen angegeben, weißt du, dass es keine weiteren geben kann. Es sind somit alle drei Nullstellen bekannt und man kann mit der faktorisierten Form arbeiten. Dasselbe gilt bei einem Polynom dritten Grades, wenn eine Nullstelle einfach und eine doppelt ist. Die doppelte Nullstelle betrachtest du als zwei aufeinander liegende einfache Nullstellen. Es sind dann auch alle Nullstellen gegeben und die faktorisierte Form kann verwendet werden. (Mehr zur faktorisierten Form bei Faktorisierter Funktionsterm) Der „normale“ Ansatz würde dabei natürlich auch zur Lösung führen, doch würde das sehr viel mehr Rechenaufwand bedeuten. Verwende deshalb immer die faktorisierte Form, wenn möglich, d.h. bei einem Polynom n.-ten Grades, wenn alle n Nullstellen gegeben sind.

Tabelle Nr. 2

Art der gesuchten Funktion Allgemeiner Ansatz
Polynomfunktion 2. Grades

Andere Formulierung:

Quadratische Funktion oder Parabel oder ganzrationale Funktion zweiten Grades

Oder in Scheitelform:

Scheitelform nur verwenden, wenn der Scheitel gegeben ist

Oder in faktorisierter Form:

Faktorisierte Form nur verwenden, wenn beide Nullstellen und bekannt sind

Polynomfunktion 3. Grades

Andere Formulierung:

Ganzrationale Funktion 3. Grades

Oder in faktorisierter Form:

Wenn drei einfachen Nullstellen und hat und alle Nullstellen gegeben sind, folgenden Ansatz wählen:

Wenn eine einfache Nullstelle und eine doppelte Nullstelle hat und diese Nullstellen beide bekannt sind, folgenden Ansatz wählen:

Wenn eine dreifache Nullstelle hat und diese Nullstellen beide bekannt sind, folgenden Ansatz wählen:
Polynomfunktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Andere Formulierung:

Ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Erklärung:

Es treten nur ungerade Potenzen von x auf. Daher sind alle Koeffizienten, die im allgemeinen Ansatz eines Polynoms dritten Grades

vor geraden x-Potenzen stehen gleich Null:

So ergibt sich der oben gezeigte vereinfachte Ansatz:
Polynomfunktion 4. Grades

Andere Formulierung:

Ganzrationale Funktion 4. Grades

Oder in faktorisierter Form:

Wenn die vier einfachen Nullstellen und hat und alle Nullstellen gegeben sind, folgenden Ansatz wählen:

Wenn eine einfache Nullstelle und eine dreifache Nullstelle hat und diese Nullstellen beide bekannt sind, folgenden Ansatz wählen:

Wenn zwei doppelte Nullstellen und hat und diese Nullstellen beide bekannt sind, folgenden Ansatz wählen:
Polynomfunktion 4. Grades, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist

Andere Formulierung:

Ganzrationale Funktion 4. Grades, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist

Erklärung:

Es treten nur gerade Potenzen von x auf. Daher sind alle Koeffizienten, die im allgemeinen Ansatz eines Polynoms vierten Grades

vor ungeraden x-Potenzen stehen gleich Null:

So ergibt sich der oben gezeigte vereinfachte Ansatz:
Polynomfunktion 5. Grades

Andere Formulierung:

Ganzrationale Funktion 5. Grades

Die faktorisierte Form wird statt des gezeigten Ansatzes verwendet, wenn fünf verschiedene (einfache) Nullstellen gegeben sind, bzw. wenn die Vielfachheiten der Nullstellen zusammen fünf ergibt, z. B. eine einfache und zwei doppelte Nullstellen oder eine doppelte und eine dreifache Nullstelle. Da es hierfür sehr viele Möglichkeiten gibt, können hier nicht alle denkbaren Ansätze aufgeführt werden.
Polynomfunktion 5. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Andere Formulierung:

Ganzrationale Funktion 5. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Erklärung:

Es treten nur ungerade Potenzen von x auf. Daher sind alle Koeffizienten, die im allgemeinen Ansatz eines Polynoms fünften Grades

vor geraden x-Potenzen stehen gleich Null:

So ergibt sich der oben gezeigte vereinfachte Ansatz:

.

Nun versuche dich gleich an dem nächsten Beispiel! Den korrekten Ansatz und die nötigen Informationen kannst du mit Hilfe der oben gezeigten Tabellen nun sicher selbst finden. Also erst mal alleine versuchen, dann die Lösung anschauen!

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