Einfache Ableitungsregeln

Oder?

Du musst dir nur merken:Zuerst ausmultiplizieren, dann ableiten!

zu 6b.)

Hier noch einmal die Funktion, die abgeleitet werden soll:

Uff, das sieht übelst schwer aus! Aber so schlimm, wie es aussieht, ist es gar nicht. Die Funktion lässt sich nämlich ganz gut vereinfachen. Wir lösen die Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formelauf, danach kannst du dann ganz leicht ableiten. Versuche es doch gleich ´mal alleine!

Hast du es alleine durchgerechnet?

Dann nun zu deiner Kontrolle der komplette Lösungsweg:

Nun kann die Ableitung gebildet werden:

(Im letzten Schritt wurde die Formel verwendet, nur in die andere Richtung.)

zu 6c.)

Hier noch einmal die Funktion, die abgeleitet werden soll:

Du darfst hier keinesfalls den Zähler und den Nenner des Bruchs einzeln ableiten und dann wieder auf einen Bruchstrich schreiben. Das wäre total falsch! Stattdessen musst du vorab jeden Faktor des Zählers einzeln durch den Nenner 2x teilen.

Wir kürzen soweit möglich:

Jetzt kann man bequem ableiten:

Bitte jetzt hier noch nicht aufhören! Negative Potenzen sind nicht „schön“, sie sollen nicht im Endergebnis vorkommen. Daher müssen wir die Ableitung noch umformen, quasi als Kosmetik:

Man könnte die Ableitung auch noch auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Das sparen wir uns jedoch. Das vorliegende Ergebnis ist absolut in Ordnung.

Merke:Im Endergebnis sollen keine negativen Potenzen oder Potenzen mit Brüchen bzw. Dezimalzahlen vorkommen. Die Ableitung also nicht in der Potenzschreibweise stehen lassen, sondern besser als Bruch bzw. Wurzel schreiben!

Du gehst also bei nur zur Potenzschreibweise über, damit du die bekannten Ableitungsregeln anwenden kannst. Danach soll die Ableitung dann wieder als Bruch oder Wurzel geschrieben werden. Der letzte Schritt ist natürlich nur Kosmetik der Ableitung, doch in Prüfungen gibt es darauf oft noch Punkte!

Geg.: Ges.: Vorgehensweise allgemein: 1. Übergang bei zur Potenzschreibweise 2. Ableitung bilden, das ergibt in Potenzschreibweise 3. wieder als Wurzel oder Bruch schreiben („Kosmetik“)

zu 6d.)

Hier noch einmal die Angabe:

Diese Aufgabe hat es in sich. Das Problem daran ist vor allem die Zahl 3, die zusätzlich zu x unter der Wurzel vorkommt. Hier musst du sehr aufpassen! Du kannst die Aufgabe natürlich vorweg alleine versuchen. Wenn du es dir jedoch noch nicht zutraust, schaust du dir einfach die folgende Lösung an.

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