b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)

Das Ganze im Bereich von x = 1 bis x = 3 noch einmal zur Übersicht in einer Monotonietabelle für :

Mit Hilfe der Monotonietabelle kannst du bestimmt gut erkennen, dass die Funktion bei x = 2 einen Tiefpunkt haben muss, dass die Parabel also nach oben geöffnet ist. Du brauchst dazu die Funktionsgleichung von gar nicht. An Hand der Pfeile in der Monotonietabelle kann man sich den Verlauf von im Bereich von x = 1 bis x = 3 ja schon ganz gut vorstellen.

Hier zum Vergleich noch einmal der Verlauf der Ableitungsfunktion laut Angabe:

Als nächstes zum Bereich von x = 3 bis x = 4. Die Gleichung der Ableitungsfunktion muss hier ebenfalls die Form haben, weil für der Graph der Ableitungsfunktion wieder eine Gerade ist. Die Steigung dieser Geraden lässt sich leicht mit Hilfe eines Steigungsdreiecks aus der Angabe entnehmen. Der y-Achsenabschnitt t kann leider nicht gut abgelesen werden, da er zu weit oben liegt. Wir könnten t nun mit Hilfe eines gut ablesbaren Geradenpunktes, beispielsweise (3|2) oder (4|0), berechnen. Doch muss das ja gar nicht unbedingt sein;in der Aufgabe ist dies ja nicht explizit verlangt. Daher verzichten wir auf die Berechnung von t und begnügen uns damit, m aus der Zeichnung abzulesen. Es gilt:m = -2 (Vorsicht:Es handelt sich dabei um die Steigung der Ableitungsfunktion und nicht um die Steigung der gesuchten Funktion !)

Damit wissen wir:

Für

Entsprechend der oben beschriebenen Integrationsregel c gilt:

Für

Es handelt sich in diesem Bereich also um ein Teilstück einer nach unten geöffneten Normalparabel. (Dass die Parabel eine nach unten geöffnete Normalparabel sein muss, erkennt man an dem Minus bzw. -1 vor dem .) Die x-Koordinate ihres Scheitels erhalten wir mit Hilfe des Graphen der Ableitungsfunktion. Bei x = 4 schneidet die fallende Gerade die x-Achse. Der Wert der Ableitung ist demnach bei x = 4 gleich Null:

Da die Ableitung der Steigung von an der Stelle x = 4 entspricht, muss der gesuchte Funktionsgraph bei x = 4 eine waagrechte Tangente besitzen. Nur im Scheitel verläuft die Tangente an eine Parabel waagrecht, daher hat der Scheitel von die x-Koordinate x = 4. Da die Ableitungsfunktion für ausschließlich oberhalb der x-Achse verläuft, ist in diesem Intervall immer positiv und der Funktionsgraph muss für streng monoton steigend sein. Wir dürfen deshalb für nur den steigenden Ast einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitel bei x = 4 zeichnen.

Es bleibt nun noch der letzte Bereich, d.h. der Bereich . Die Ableitungsfunktion ist in diesem Bereich immer konstant gleich Null. Aus folgt, dass die Steigung 0 haben und somit für waagrecht verlaufen muss.

---