b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)
Dann jetzt die Antwort auf die Frage:
Der Punkt Q´liegt bei x = 1,5 auf der Ableitungsfunktion. Seine y-Koordinate ist y = -1. Somit hat die unbekannte Funktion 
an der Stelle x = 1,5 die Steigung -1. Die y-Koordinate eines Punktes von 
, also der Funktionswert der Ableitungsfunktion, gibt schließlich die Steigung von 
an dieser Stelle an.
Merke:
Die y-Koordinate eines Punktes von 
gibt die Steigung von 
an der Stelle x an.
Jetzt aber zu der gesamten Funktion. Hier noch einmal der gegebene Graph der Ableitungsfunktion:
Man erkennt, dass der gezeigte Graph der Ableitungsfunktion aus mehreren Einzelstücken zusammengesetzt ist. Er besteht aus der waagrechten Gerade y = -2 für 
, einer steigenden Gerade für 
, einer fallenden Gerade für 
und einer zweiten waagrechten Gerade y = 0 für 
. (Streng genommen kann man eigentlich gar nicht sagen, wo das Gleichheitszeichen dazu genommen wird. Ob beispielsweise die Stelle x = 1 nun zu der waagrechten Gerade y = -2 oder zu der steigenden Gerade gezählt wird, ist reine Geschmackssache. An den Knickstellen x = 1, x = 3 und x = 4 muss man also selbst eine Entscheidung treffen, ob man den entsprechenden Punkt entweder zum linken oder rechten Teil des Graphen zählt. Hier wurde er immer zum rechten Teil gezählt. Dies ist reine Geschmackssache. Wichtig ist allerdings, dass die jeweiligen Punkte genau einem Teil zugerechnet werden.)
Wir werden im Folgenden versuchen, die Gleichung der Ableitungsfunktion 
aufzustellen und daraus die Gleichung der Funktion soweit möglich zu folgern. Da die Ableitungsfunktion aus mehreren einzelnen Stücken zusammengesetzt ist, muss auch die Funktion stückweise definiert sein, also aus mehreren Teilen zusammengesetzt sein. Daher gehen wir auch stückweise vor. Fangen wir ´mal mit dem Teil ganz links bei an. Hier verläuft waagrecht, es gilt offensichtlich:
Für 
Die Ableitung ist hier also immer konstant gleich -2. Die Ableitung entspricht der Steigung der Funktion . Deshalb können wir folgern, dass der Funktionsgraph für immer die Steigung -2 haben muss. Die y-Koordinate eines Punktes auf der Ableitungsfunktion entspricht schließlich der Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle. Die y-Koordinate der Ableitungsfunktion ist in diesem Bereich immer gleich -2, daher muss die Funktion hier immer die Steigung -2 besitzen. Nur Geraden haben eine konstante Steigung, also eine Steigung, die sich nicht ändert. Es muss sich daher bei für um eine Gerade mit der Steigung -2 handeln. Es gilt somit:
