b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)

Zur Verdeutlichung der unterschiedlichen Tangentenprobleme hier zwei Abbildungen:

„Einfacheres Tangentenproblem“ Im Kurvenpunkt die Tangente an legen

„Schwierigeres Tangentenproblem“ Von einem Punkt die Tangente(n) an legen

Wie kann man nun von einem Punkt P außerhalb von die Tangente an legen?

Wir rechnen erst einmal so, als würden wir die x-Koordinate des Berührpunktes kennen. Mathematisch gesagt, wir rechnen zu Beginn in Abhängigkeit von . („In Abhängigkeit von rechnen“ bedeutet, dass man mit rechnet als wäre es eine bekannte Zahl;man setzt allerdings nichts für ein.) Wir tun praktisch so, als wäre eine konkrete Zahl und stellen die Gleichung der Tangente erst einmal in Abhängigkeit von auf. Dann setzten wir die Koordinaten des gegebenen Punktes, in diesem Fall P(0|0), in die Tangentengleichung ein und lösen nach auf. So ergibt sich die x-Koordinate des Berührpunktes. Damit ist unsere Aufgabe schon fast gelöst. Die noch fehlende y-Koordinate von B und die Tangentengleichung lassen sich dann ja leicht berechnen. (Genaueres siehe unten!)

So, jetzt geht´s los. Wir gehen Schritt für Schritt vor, im Prinzip wie bei der Berechnung der Tangente, wenn der Berührpunkt gegeben ist, nur dass wir für erst mal nichts einsetzen, da wir ja noch nicht kennen.

Hier noch einmal die Funktionsgleichung:

Gesuchter Berührpunkt

·        y-Koordinate von B berechnen: 

d.h. in einsetzen

·         ableiten 

Um die Funktion besser ableiten zu können, formen wir sie mit Hilfe des Potenzgesetzes um.

Dann kann nämlich mit Hilfe der Ableitungsregel abgeleitet werden.

·        Tangentensteigung m (in Abhängigkeit von ) berechnen: 

d.h. in einsetzen

·        y-Achsenabschnitt t (in Abhängigkeit von ) berechnen:  Dazu die Koordinaten von für x bzw. y sowie berechneten Wert in einsetzen und nach t auflösen

·        Tangentengleichung (in Abhängigkeit von ) aufstellen:  Nur die soeben berechneten Werte und einsetzen in (Für x und y nichts einsetzen!)

(Tangentengleichung in Abhängigkeit von )

Die Tangente soll laut Angabe durch den Ursprung (0|0) verlaufen. Der Ursprung muss daher auf der Tangente liegen;die Gleichung muss für seine Koordinaten erfüllt sein. Wir können den Punkt (0|0) somit in die Tangentengleichung einsetzen und dann nach auflösen.

Jetzt kennen wir die x-Koordinate des Berührpunktes B. Die y-Koordinate muss noch berechnet werden. Dazu setzten wir die x-Koordinate einfach in ein.

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