b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)

Jetzt leiten wir mit der Regel mit n ℝ  ab. Das ergibt:

Wir klammern noch die Zahl 2 aus. (Das muss man nicht unbedingt machen;man könnte genauso gut in die Klammer hineinmultiplizieren.) Dadurch erhält man:

Nun bilden wir , also die Ableitung an der Stelle . Dazu setzt man einfach die Zahl 2 für x in die Ableitung (genauer gesagt:in die Ableitungsfunktion) ein. Man erhält:

Nun müssen wir nur noch den Schnittwinkel der Tangente mit der x-Achse berechnen.

Wie schon im 5. Bsp. und 7. Bsp. verwenden wir die Formel:

10. Bsp.:Schwierigeres Tangentenproblem

Vom Ursprung ausgehend wird an die Funktion die Tangente gelegt. In welchem Punkt B berührt diese Tangente den Funktionsgraph? Wie lautet die Gleichung dieser Tangente?

Lösung:

Diese Aufgabe hat es in sich. Das Problem besteht darin, dass man nicht weiß, wo die Tangente den Funktionsgraph berührt. Genau der Berührpunkt zwischen der Tangente und dem Funktionsgraphen ist in dieser Aufgabe nicht bekannt, sondern gesucht. Bisher war genau dieser Berührpunkt, oder zumindest seine x-Koordinate,  immer angegeben, wenn eine Tangentengleichung gesucht war. Wir setzten die gegebene x-Koordinate des Berührpunktes B in die Funktionsgleichung ein, falls seine y-Koordinate noch unbekannt war, und berechneten so seine y-Koordinate . Der Berührpunkt B liegt schließlich sowohl auf der Tangente als auch auf der Funktion . Dann setzten wir seine x-Koordinate in die erste Ableitung ein und erhielten die Steigung m der Tangente. durch Einsetzen von m und der Koordinaten von B in die allgemeine Geradengleichung ließsich der y-Achsenabschnitt t der Tangente ermitteln.

Zur Wiederholung: Anleitung zum Aufstellen der Tangentengleichung, wenn Berührpunkt gegeben „Einfacheres Tangentenproblem“ Geg.:    Funktionsgleichung …  und Berührpunkt Ges.:    Tangentengleichung an im Punkt B Anleitung: ·         Allgemeiner Ansatz:  ·         y-Koordinate von B berechnen:  d.h. x-Koordinate von B in einsetzen ·         ableiten  ·         Tangentensteigung m berechnen:  d.h. x-Koordinate von B in einsetzen ·         y-Achsenabschnitt t berechnen:  Koordinaten von B für x bzw. y sowie berechneten Wert für m in einsetzen und nach t auflösen ·         Tangentengleichung aufstellen:  Nur die berechneten Werte für m und t einsetzen in (Für x und y nichts einsetzen!)

In dieser Aufgabe ist aber statt des Berührpunktes B nur der Punkt P(0|0) gegeben, der zwar auf der Tangente, jedoch nicht auf der Funktion liegt. Wir wissen also nicht, wo die Tangente die Funktion berührt. Wir brauchen aber den Berührpunkt B, um die Tangentengleichung aufstellen zu können. Ohne die Tangentengleichung kann umgekehrt der Berührpunkt nicht direkt ermittelt werden.

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