b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)

3. Wie berechnet man den Schnittwinkel einer Tangente mit der x-Achse?

Geg.:    Funktionsgleichung …   und Kurvenpunkt Ges.:    Schnittwinkel zwischen der Tangente an im Kurvenpunkt P und der x-Achse Anleitung: ·         ableiten  ·         Tangentensteigung berechnen:  d.h. x-Koordinate von P in einsetzen ·         Schnittwinkel berechnen:    Den berechneten Wert für in die Formel einsetzen und den Winkel mit dem Taschenrechner ausrechnen Tastenfolge am Taschenrechner (Mode:DEG):

6.Bsp.:

Gegeben ist die Funktion .

a.)  In welchem Kurvenpunkt verläuft die Tangente an den Graph parallel zu der Geraden ?

b.)  In welchem Kurvenpunkt verläuft die Tangente an den Graph senkrecht zu der Geraden ?

Lösung:

Zu 6a.)

Falls du dir im Moment gar nicht vorstellen kannst, was du hier überhaupt ausrechnen sollst, bist du nicht alleine;das geht bei dieser Art von Aufgaben einigen Schülern so. Um dir mehr Klarheit zu verschaffen, solltest du dir erst einmal eine Zeichnung machen, die den Graph der Funktion und die Gerade enthält.

Brauchst du Hilfe bei der Zeichnung? Hier noch ein paar Tipps:

Die Funktion ist eine nach unten geöffnete breitere Parabel mit dem Scheitel S(0|4). Um die Parabel genau zu zeichnen, berechnest du einfach ein paar Funktionswerte im Bereich [-5;5].

Die Gerade schneidet die y-Achse bei 5. Von dort gehst du 1 nach rechts und 2 nach unten, um das Steigungsdreieck zu zeichnen. Genaueres bei:Lineare Funktionen zeichnen

Hast du nun die Zeichnung der Parabel und der Gerade angefertigt? Gut, dann verschiebst du die Gerade in Gedanken so weit parallel, bis sie die Parabel berührt, und zeichnest dort eine zweite Gerade. Wo die zweite Gerade die Parabel berührt, liegt der gesuchte Punkt. Es ist schließlich gefragt, in welchem Kurvenpunkt die Tangente an parallel zur Gerade g verläuft. Du sollst also eine zur Gerade g parallele Gerade zeichnen, die die Parabel in genau einem Punkt berührt. Die Koordinaten dieses Berührpunktes sind hier zu berechnen. Deine Zeichnung sollte nun im Prinzip aussehen wie die folgende Abbildung.

Abb.:Graph der Funktion und der Gerade (in Grün) mit zu g paralleler Tangente an (in Rosa).

Wie du weißt, sind zwei Geraden parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Die Tangente an die Parabel soll parallel zur Gerade verlaufen. Daher muss die Tangentensteigung gleich der Steigung der Geraden g sein. Da die Gerade g in diesem Beispiel die Steigung m = -2 hat, muss auch die Tangentensteigung gleich -2 sein. Die Tangentensteigung entspricht der Ableitung der Funktion . Daher muss im Berührpunkt P gelten:

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