b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)
zu 5b.)
Geg.:
Gesucht ist die Normalengleichung im Kurvenpunkt . Eine Normale ist eine Gerade, die zur Tangente im Punkt P senkrecht steht und hat somit wie die Tangente eine Gleichung der Form y = mx + t. Um zwischen Tangentensteigung und Normalensteigung unterscheiden zu können, werden hier die Bezeichnungen
für die Tangentensteigung und
für die Normalensteigung verwendet. Die Steigung
und der y-Achsenabschnitt t müssen somit berechnet werden. (Vorsicht:Der y-Achsenabschnitt der Normale ist nicht identisch mit dem y-Achsenabschnitt der Tangente aus Teilaufgabe 5a. Neben der Normalensteigung muss also auch t neu berechnet werden.)
Wir haben bereits in Teilaufgabe 5a.) die y-Koordinate von P berechnet. Wir wissen daher schon, dass gilt:
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. In der Mittelstufe hast du irgendwann gelernt:Zwei Geraden mit den Steigungen und
sind genau dann zueinander senkrecht, wenn gilt:
Siehe auch:Zueinander senkrechte (orthogonale) Geraden
Daher gilt für die Normalensteigung und die Tangentensteigung
die folgende Gleichung:
Die Formel lässt sich leicht nach auflösen, indem man durch
dividiert. so ergibt sich für die Normalensteigung:
Die Steigung der Tangente in einem bestimmten Kurvenpunkt lässt sich bekanntlich schnell ausrechnen, indem man die x-Koordinate
des Punktes P in die Ableitung
einsetzt. D.h. es gilt für die Tangentensteigung
. Den Ausdruck
setzen wir in die oben gezeigte Formel für
ein. Dadurch erhalten wir die folgende Formel für die Normalensteigung, welche sowohl in der orangen bsv-Formelsammlung (für FOS/BOS) als auch auf der Merkhilfe für G8 steht.
Steigung der Normalen im Punkt
, wobei
Hinweis:Mit ist immer eine konkrete Zahl, nämlich die x-Koordinate des gegebenen Kurvenpunktes P gemeint. In unserem Beispiel ist
und somit
.
In Teilaufgabe 5a.) haben wir die Tangentensteigung in dem Punkt schon berechnet. Vergleiche oben! Wir wissen also schon:
Für die Normalensteigung in P gilt dann:
TIPP: Du kannst die Normalensteigung auch ganz leicht aus der Tangentensteigung
bilden, indem du das Vorzeichen von
umdrehst und außerdem den Kehrwert bildest. Dies folgt nämlich aus der Formel
.
Erläuterung zum Tipp:
Das Minus vor dem Bruch bedeutet, dass man das Vorzeichen von umdrehen soll.
Der Bruch für sich alleine genommen bedeutet, dass man den Kehrwert von
bilden soll. Denke dir dabei auch die Tangentensteigung
als Bruch.
heißt dann, dass die Zahl 1 durch den Bruch
geteilt werden soll. Wie du weißt, dividiert man durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Deshalb muss man bei
die Zahl 1 mit dem Kehrwert von
multiplizieren. Die Multiplikation des Kehrwerts von
mit der Zahl 1 ergibt logischerweise genau den Kehrwert von
.