b.) Zusammenhang der Funktion f (x) mit ihrer Ableitungsfunktion f´(x)

Nach diesen Überlegungen können wir den Graph einer Funktion zu unserer Ableitungsfunktion zeichnen. Versuche es doch einmal alleine, ohne dir die nächste Abbildung anzuschauen!

Wenn du alles richtig gemacht hast, sieht dein Graph von der Form her aus wie der in der folgenden Abbildung gezeigte Graph . Dein Funktionsgraph kann natürlich im Vergleich zu diesem Graph beliebig nach oben oder unten verschoben sein. Das haben wir ja schon besprochen. (Von lässt sich ohne weitere Angaben nicht eindeutig auf schließen.)

Wir fassen noch einmal alles Wichtige zusammen, was du an diesem Beispiel lernen solltest:

Der Funktionswert der Ableitungsfunktion, also die y-Koordinate eines Punktes , der auf dem Graph der Ableitungsfunktion liegt, gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an.

Ist der Graph der Ableitungsfunktion eine waagrechte Gerade, so ist der Graph der Funktion eine schräge Gerade, da die Ableitung konstant ist und somit die Steigung von ebenfalls konstant sein muss. Ist die Steigung einer Funktion konstant, kann es sich bei nur um eine Gerade handeln.

Ist der Graph der Ableitungsfunktion eine schräge Gerade, so ist Graph der Funktion eine Parabel.

Wo unterhalb der x-Achse verläuft, ist die Ableitung, d.h. die Steigung von , negativ und fällt.

Wo oberhalb der x-Achse verläuft, ist die Ableitung, d.h. die Steigung von , positiv und steigt.

Wo eine Nullstelle hat, ist die Ableitung gleich Null, so dass an dieser Stelle eine waagrechte Tangente hat. Das ergibt die x-Koordinate des Scheitels der Parabel .

In der soeben vorgeführten Aufgabe musste (soweit möglich) vom Graph auf den Funktionsgraphen geschlossen werden. Da eine Stammfunktion von ist, entspricht die Aufgabenstellung vom auf zu schließen im Prinzip dem Problem vom Funktionsgraph auf den Graph ihrer Stammfunktion zu schließen, da für eine Stammfunktion zu einer Funktion schließlich gilt:

Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Graph einer Stammfunktion: Merke: ist die Ableitungsfunktion von ! Daher entspricht der Steigung von . ·         Bei den x-Koordinate, wo eine Nullstelle hat, besitzt einen Punkt mit waagrechter Tangente. ·         An der Stelle, wo eine einfache Nullstelle (Schnittpunkte mit der Achse) besitzt, hat ein Extremum (Hochpunkt oder Tiefpunkt). ·         An der Stelle, wo eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt mit der Achse) besitzt, hat einen Terrassenpunkt. ·         In den Bereichen, wo unterhalb der x-Achse verläuft, ist streng monoton fallend. ·         In den Bereichen, wo oberhalb der x-Achse verläuft, ist streng monoton steigend. Es gibt zu einer Funktion unendlich viele verschiedene Stammfunktionen . Die Stammfunktionen unterscheiden sich nur in einer additiven Konstante C, d.h. in einer Zahl, die zu dazugezählt oder abgezogen wird. Die Graphen der verschiedenen Stammfunktionen ergeben sich auseinander durch Verschiebung nach oben oder unten entlang der y-Achse. Soll zu einem gegebenen Graph der Graph einer beliebigen Stammfunktion skizziert werden, kann man selbst frei wählen, in welcher Höhe man beginnt. Es kommt nur auf das korrekte Steigungsverhalten von an. In welcher Höhe die Stammfunktion verläuft, ist egal! Nur der Kurvenverlauf ist entscheidend!

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