a.) Unterschied zwischen Ableitung f´(x0) an einer bestimmten Stelle x0 und der Ableitungsfunktion f´(x)

Wie findet man also den Punkt P bzw. seine x-Koordinate, wenn man nur die Tangentensteigung m in diesem Punkt und die Funktionsgleichung kennt? Ganz einfach:Man bildet erst einmal und setzt mit der gegebenen Tangentensteigung m gleich. Es gilt schlie?lich:

So ergibt sich eine Gleichung mit der Unbekannten x, die du nur noch nach x auflosen brauchst und schon hast du die gesuchte x-Koordinate des Punktes P berechnet. Die y-Koordinate von P erhaltst du durch Einsetzen der berechneten x-Koordinate in die Funktionsgleichung .

2. Bsp.:

In welchem Punkt P verlauft die Tangente an die Funktion parallel zu der Geraden ?

Losung:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Die Tangente soll parallel zu verlaufen, daher mussen die Tangente und die Gerade g die gleiche Steigung besitzen. Weil die Gerade g die Steigung hat, muss auch die Tangente die Steigung haben. Wir kennen somit die Tangentensteigung und suchen den zugehorigen Punkt P auf der Funktion .

Wir bilden erst einmal die Ableitung:

Nun setzen wir die Ableitung mit gleich:

Das ist schon die x-Koordinate von P. Nun fehlt nur noch die y-Koordinate von P. Wir erhalten sie durch Einsetzen von in die Funktionsgleichung .

Der gesuchte Punkt hat somit die Koordinaten:

Zusammenfassung: Aufgabentyp 1: Die x-Koordinate eines Kurvenpunktes P von ist gegeben und die Steigung der Funktion bzw. die Tangentensteigung m in diesem Punkt ist gesucht. Dann musst du die gegebene x-Koordinate fur x in die Ableitung einsetzen! So bekommst du die gesuchte Tangentensteigung. Geg.: und die x-Koordinate eines Kurvenpunktes P Ges.: Steigung der Funktion im Punkt P / Tangentensteigung m Losung: D.h. x-Koordinate von P einsetzen in Tangentensteigung m Aufgabentyp 2: Es ist die Steigung der Funktion bzw. die Tangentensteigung m gegeben und die x-Koordinate des zugehorigen Kurvenpunktes ist gesucht. Dann musst du die gegebene Steigung m mit der Ableitung gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach x auflosen! Also keinesfalls den gegebenen Wert m fur x in die Ableitung einsetzen! Geg.: und die Tangentensteigung m Ges.: x-Koordinate des Beruhrpunktes P von Tangente und Funktion Losung: D.h. Ableitung mit dem gegebenen Wert von m gleichsetzen und Gleichung nach x auflosen x-Koordinate des Beruhrpunktes P Falls die y-Koordinate von P auch noch gesucht ist, musst du die ermittelte x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen, nicht in die Ableitung .

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