a.) Unterschied zwischen Ableitung f´(x0) an einer bestimmten Stelle x0 und der Ableitungsfunktion f´(x)

Kurze Wiederholung:  Steigung m von Geraden

Bei Geraden in der Form wird die Steigung mit m bezeichnet. Soll eine Gerade mit Hilfe von m und t gezeichnet werden, zeichnet man ausgehend vom y-Achsenabschnitt t auf der y-Achse ein Steigungsdreieck. Dazu stellt man sich m als Bruch vor;den Nenner geht man von t aus immer nach rechts und den Zahler nach oben, wenn m positiv ist, bzw. nach unten, wenn m negativ ist. Es gilt:

Bei einer bestimmten Gerade ist die Steigung m immer eine feste Zahl. Die Steigung einer Geraden ist konstant, d.h. sie andert sich nicht. Egal, an welcher Stelle man sich auf der Geraden befindet, die Steigung m ist immer gleich. Sonst ware es ja keine Gerade. Sobald sich die Steigung andert, entsteht schlie?lich eine Kurve, die teils flacher und teils steiler verlauft.

Ist der Graph einer Funktion keine Gerade, sondern eine Kurve, hangt die Steigung der Funktion immer vom jeweiligen Kurvenpunkt ab. Ein Kurvenpunkt P ist durch seine x-Koordinate eindeutig festgelegt, denn seine y-Koordinate kann ja durch Einsetzen seiner x-Koordinate in die Funktionsgleichung leicht berechnet werden. Fur jeden Kurvenpunkt von gilt ja . Es reicht somit vollig aus, nur die x-Koordinate des jeweiligen Kurvenpunktes zu kennen, um die Steigung der Funktion an dieser Stelle eindeutig berechnen zu konnen. Die Steigung der gesamten Kurve ist allerdings keine konstante Zahl, sondern ein mathematischer Ausdruck, der von x abhangt. Wir schreiben bei einer Funktion fur die Steigung anstatt m daher . Das x in der Klammer weist auf die Abhangigkeit von x hin. Nur wenn man x kennt, kann man die Steigung konkret als Zahl angeben.

Also noch einmal, weil es so wichtig ist:

Wenn du die Steigung einer Kurve berechnen willst, musst du die x-Koordinate des jeweiligen Kurvenpunktes in die Ableitungsfunktion einsetzen. Dadurch erhaltst du die konkrete Steigung an dieser Stelle.

1. Bsp.:

Gegeben ist die Funktion . Im Punkt wird die Tangente an gelegt. Berechne die Tangentensteigung!

Losung:

Um die Steigung der Tangente an die Funktion im Kurvenpunkt P(-2|?) zu ermitteln, muss man zuerst die Ableitungsfunktion bilden und in diesen Ausdruck fur x die gegebene x-Koordinate -2 einsetzen.

Steigung der Tangente im Kurvenpunkt P(-2|?):     

Die Tangente an im Punkt P(-2|?) hat somit die Steigung -32.

Nun gibt es auch die umgekehrte Fragestellung:Die Steigung einer Funktion ist bekannt, aber der Punkt P auf der Funktion nicht.

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