a.) Unterschied zwischen Ableitung f´(x0) an einer bestimmten Stelle x0 und der Ableitungsfunktion f´(x)

Jeder Stelle x wird durch die Ableitungsfunktion genau die Steigung von zugeordnet. (Erinnere dich an die Definition einer Funktion:Jedem x wird genau ein y zugeordnet. Die y-Koordinaten von entsprechen dabei den Steigungen von an den jeweiligen Stellen x.) Der Funktionswert / das Ergebnis von entspricht also der Steigung von an der Stelle x.

Vielen Schulern fallt es anfangs schwer sich das vorzustellen. ist einerseits die Steigung von und andererseits eine eigene Funktion. Hm? Du musst dir das folgenderma?en denken:Der Graph der Funktion ist eine Kurve und keine Gerade, daher hat die Funktion an verschiedenen Stellen auch in der Regel unterschiedliche Steigungen. Die Steigung von hangt also von der jeweiligen Stelle x ab. Deshalb schreibt man jetzt auch nicht mehr m fur die Steigung, sondern . (Nur die Steigung von Geraden wird weiterhin mit m bezeichnet. Die Steigung einer Gerade ist im Gegensatz zur Steigung einer Kurve eine feste Zahl;die Steigung einer Gerade andert sich nicht, egal an welcher Stelle man sich auf der Gerade befindet.) Stelle dir nun Folgendes vor:Man hat den Graph einer Funktion vor sich. An verschiedenen Stellen x werden die Tangenten an den Graph gelegt. Die Steigungen der verschiedenen Tangenten werden alle entweder mit dem Differenzialquotienten berechnet oder aus der Zeichnung abgelesen. Fasst man diese Tangentensteigungen nun als die y-Koordinaten einer neuen Funktion auf, kommt man zur Ableitungsfunktion . Die x-Koordinaten der Punkte auf der Ableitungsfunktion entsprechen dabei immer den x-Koordinaten derjenigen Kurvenpunkte von , in denen die jeweiligen Tangenten gezeichnet wurden, also den x-Koordinaten der Beruhrpunkte der Tangenten mit . Die Steigungen der Tangenten an den Graph ergeben dann die y-Koordinaten der Punkte auf der Ableitungsfunktion.

Wir halten noch einmal fest: Die Ableitung ist die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle . Im Gegensatz dazu stellt die Ableitungsfunktion eine eigene Funktion dar, deren Funktionswert die Steigung der Funktion an einer beliebigen Stelle x angibt. Die Tangentensteigung von entspricht daher der y-Koordinate der Ableitungsfunktion . (Wenn du dir das nicht gut vorstellen kannst, siehe:Genauere Erklarung zum graphischen Differenzieren.) Das Steigungsverhalten der Funktion wird auch als Monotonieverhalten, oder kurz Monotonie, bezeichnet. Um die Monotonie von zu untersuchen, braucht man deshalb die Ableitung . Die Definitionsmenge der Ableitungsfunktion wird als Differenzierbarkeitsbereich bezeichnet. ist immer Teilmenge der Definitionsmenge der Funktion . Man kann eine Funktion schlie?lich nur dort ableiten, wo sie uberhaupt definiert ist. Wo eine Funktion nicht definiert ist, kann man schlie?lich keine Steigung berechnen. Noch einmal in anderen Worten:In ihrem Differenzierbarkeitsbereich ordnet die Ableitungsfunktion jedem x die Steigung der Funktion an dieser Stelle zu. Das hei?t nichts anderes, als dass die Tangentensteigung von an der Stelle x genau der y-Koordinate der Ableitungsfunktion an der Stelle x entspricht.

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