Das Newton-Verfahren
Das macht man nun immer wieder, bis eine Näherung mit der gewünschten Genauigkeit erreicht ist. Der Punkt 
ist der Abbildung oben noch dargestellt, jedoch nicht mehr die zugehörige Tangente 
und der dritte Näherungswert 
. Der Punkt 
, die Tangente 
und der vierte Näherungswert 
sind ebenfalls nicht mehr in der Abbildung dargestellt. Es ist einfach kein Platz mehr in der Zeichnung und das Prinzip hast du bestimmt längst verstanden.
Nun denkst du dir wahrscheinlich:„O Gott! Wenn ich das alles ausrechnen muss, da werde ich ja alt und grau! Erst einmal die y-Koordinate des Punktes 
ausrechnen, dann in die Tangentengleichung aufstellen und die Nullstelle der Tangente, also die erste Näherung 
, ausrechnen. Dann als nächstes die y-Koordinate von 
ausrechnen, dann im Punkt die Tangentengleichung aufstellen und die Nullstelle dieser Tangente, also 
ausrechnen. Und, und, und…“ Keine Sorge, das musst du gar nicht! Erfreulicherweise gibt es eine Formel, mit deren Hilfe man direkt von 
zu kommt und dann wieder direkt von zu , entsprechend von zu und immer so weiter. Diese Formel ist die oben bereits erwähnte Iterationsvorschrift.
Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens:
Eine Iterationsvorschrift ist, wie gesagt, eine Rechenanweisung, die nacheinander immer wieder in gleicher Art und Weise angewendet wird. Man geht vom Startwert aus, der schon möglichst nah an der gesuchten Lösung der Gleichung 
liegen sollte. Wenn der Startwert nicht in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, entnimmt man ihn am besten einer Skizze oder man erstellt eine Wertetabelle für die Funktion 
und schaut, zwischen welchen zwei x-Koordinaten der y-Wert sein Vorzeichen ändert. Zwischen diesen beiden x-Koordinaten muss die gesuchte Nullstelle liegen. Man nimmt dann diejenige der beiden x-Koordinaten, deren y-Koordinate weniger von Null abweicht. (Auf die Wahl eines geeigneten Startwertes werden wir weiter unten noch wesentlich genauer eingehen.)
Den ersten Näherungswert erhält man mit der Formel:
Den zweiten Näherungswert erhält man mit der Formel: 
Den dritten Näherungswert erhält man mit der Formel: 
Wie man auf den vierten Näherungswert kommt, kannst du dir nun bestimmt schon selbst denken. Überlege dir erst selbstständig, wie die Formel für aussehen muss, bevor du weiterliest.
Hast du es dir alleine überlegt?
Dann bist du bestimmt darauf gekommen, dass sich der vierte Näherungswert folgendermaßen bestimmen lässt: 
Das Prinzip hast du nun hoffentlich verstanden.
