Das Newton-Verfahren

h. geht gegen) die gesuchte exakte Lösung a.

Hilfreich wäre eine sogenannte Konvergenzbedingung für unseren Startwert, also irgendeine mathematische Bedingung, die absolut sicherstellt, dass sich die Näherungswerte … immer mehr an die exakte Lösung annähern. (Streng genommen muss nicht nur der Startwert diese Konvergenzbedingung erfüllen, sondern auch jeder der Näherungswerte …)

Konvergenzbedingung beim Newton-Verfahren:

Leider ist diese Bedingung nur mit relativ großem Rechenaufwand zu überprüfen, so dass man in der Praxis oft einfach auf die Kontrolle der Konvergenzbedingung ganz verzichtet oder zumindest nur beim Startwert durchführt.

Geometrisch anschaulich bedeutet die Konvergenzbedingung, dass ein Startwert gut geeignet ist, wenn der Funktionswert ) bereits nahe bei 0 liegt, der Graph an dieser Stelle wenig gekrümmt und ziemlich steil ist.

Erläuterung:

Im Zähler der Konvergenzbedingung stehen die Ausdrücke und , im Nenner steht . Damit der gesamte Ausdruck kleiner als 1 ist, muss der Zähler vom Betrag her kleiner als der Nenner sein. Ein Bruch ist schließlich immer kleiner als 1, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist. Der Zähler ) muss somit vom Betrag her klein und der Nenner vom Betrag her großsein.

Der Zähler von wird klein, wenn und beide klein sind. Der Nenner wird groß, wenn großist. Was bedeutet dies anschaulich?

·        Die erste Ableitung beschreibt bekanntlich die Steigung von . Damit die Steigung betragsmäßig groß wird, muss der Graph möglichst steil verlaufen.

·        Damit der Funktionswert vom Betrag her klein, also fast 0  wird, muss x ganz in der Nähe der Nullstelle liegen.

·        Die zweite Ableitung f´´(x)beschreibt die Krümmung von . Damit die Krümmung betragsmäßig klein wird, darf der Graph nicht allzu sehr gekrümmt sein. (D.h. er sollte beim Startwert keine zu enge Kurve beschreiben.)

Ein Startwert ist dementsprechend besonders gut geeignet, wenn gilt: Das bedeutet, dass möglichst nah an der gesuchten Nullstelle liegen soll. ist möglichst klein, was anschaulich einer geringen Krümmung an der Stelle , also einer möglichst weiten Kurve von in der näheren Umgebung von entspricht. ist möglichst groß, was anschaulich bedeutet, dass bei bei sehr steil verläuft.

Falls du momentan noch nicht gelernt hast, was die zweite Ableitung ist, kannst du die Formel der Konvergenzbedingung erst einmal vernachlässigen.

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