Aufgaben mit Funktionenscharen, Ortskurven von Hoch-, Tief- oder Wendepunkten berechnen

1. Methode:Mit vorheriger Berechnung der y-Koordinate des Extremums

Extremum bei

Definitionsmenge dieser Ortskurve:

Wegen kann die x-Koordinate des Extremums nicht den Wert Null annehmen. Deshalb gilt:

Die Lösung lautet deshalb:

2. Methode:Ohne vorheriger Berechnung der y-Koordinate des Extremums

Wir kennen die x-Koordinate des Extremums. Sie lautet:

Normalerweise würde man jetzt nach dem Parameter a auflösen, doch das ist hier gar nicht nötig. Es gilt schließlich:

Wir müssen bloßin für a den Buchstaben x einsetzen, das Ganze vereinfachen und schon haben wir die gesuchte Ortskurve berechnet.

Außerdem ist gefragt, welcher Punkt der Ortskurve kein Extremum der Schar ist. Wegen kann die x-Koordinate des Extremums x = a niemals den Wert Null annehmen. Die Ortskurve ist somit nur für definiert.

Wir berechnen noch schnell die y-Koordinate des Punktes der Ortskurve , der kein Extremum der Schar sein kann.

Der Punkt kann somit kein Extremum der Schar mit sein.

Hinweis:Für würde sich die Funktion , also ergeben. Diese Funktion hat bei x = 0 eine dreifache Nullstelle, also den Terrassenpunkt . Da ein Terrassenpunkt nicht zu den Extrempunkten zählt, würde sich auch für bei kein Extremum ergeben. Der Ursprung ist somit für keinen reellen Wert von a ein Extremum der Schar .

Zu 5d.)

Es ist die Art und Lage des zweiten Extremums der Schar mit zu berechnen. Das erste Extremum liegt laut Teilaufgabe 5a.) bei x = a;wir suchen also genau das andere Extremum. Dazu bilden wir vorweg die erste Ableitung der Schar.

Berechnung der x-Koordinaten aller Punkte mit waagrechten Tangenten:

Bei einem Extremum verläuft die Tangente an den Graphen waagrecht. Die Steigung / erste Ableitung muss dort also gleich Null sein.

Die vorliegende Gleichung enthält , x (ohne Potenz) und eine Konstante;sie ist also gemischtquadratisch. Mit der Mitternachtsformellässt sich eine gemischtquadratische Gleichung leicht lösen. Weil wir die Bezeichnungen und in Teilaufgabe 5b.) bereits für die Nullstellen der Schar verwendet haben, verwenden wir nun die Bezeichnungen und für die Lösungen dieser Gleichung.

Offensichtlich ist das bereits bekannte Extremum. Entsprechend muss wohl bei das gesuchte zweite Extremum der Schar mit liegen.

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