Aufgaben mit Funktionenscharen, Ortskurven von Hoch-, Tief- oder Wendepunkten berechnen
So, jetzt weißt du, was du nicht machen darfst, wenn du nachweisen sollst, dass es genau einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der gegebenen Schar 
liegt. Doch wie lässt sich die Aufgabe nun lösen?
Wir müssen festlegen: 
und 
sind zwei beliebige, aber verschiedene Werte von k, mathematisch geschrieben: 
Dann sind 
und 
sicher zwei verschiedene Funktionen der Schar.
Es soll gezeigt werden:
1. Alle Graphen der Schar haben genau einen gemeinsamen Punkt P.
Allgemeiner Ansatz zur Ermittlung des gemeinsamen Punktes:
Um die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte von und zu berechnen, müssen wir und gleichsetzen. Dadurch bekommen wir eine Gleichung mit drei Buchstaben: 
und x. Die Gleichung muss nach der Variablen, also nach x aufgelöst werden.
Dabei kommt es nicht nur auf die Anzahl der Lösungen an, sondern auch auf die Art der jeweiligen Lösung. Eine Lösung dieser Gleichung kann entweder abhängig sein von den Scharparametern und (d.h. und kommen in der Lösung noch vor) oder die jeweilige Lösung ist unabhängig vom Scharparameter (d.h. und sind beide vollständig herausgefallen). Nur wenn eine Lösung weder 
noch 
enthält, also wenn es sich um eine ganz normale Zahl ohne Scharparameter handelt, gilt sie für alle Funktionen der Schar. Eine Lösung, die dagegen und noch enthält, stellt bloßdie x-Koordinate des gemeinsamen Punktes von zwei bestimmten Funktionen der Schar dar, aber nicht von allen Graphen der Schar.
Es soll hier gezeigt werden, dass es genau einen gemeinsamen Punkt aller Funktionen der Schar gibt. Es muss sich in diesem Beispiel also genau eine Lösung ergeben, die unabhängig ist von und . D.h. es darf weder noch in dieser Lösung vorkommen;diese eine Lösung muss eine richtige Zahl ohne und sein.
Ob sich außerdem noch weitere Lösungen ergeben, die abhängig sind von und , kann man im Vorhinein nicht sagen. Das hängt davon ab, ob sich jeweils zwei Graphen der Schar nur in einem Punkt oder in mehreren Punkten schneiden bzw. berühren. Auf jeden Fall muss hier genau eine Lösung herauskommen, bei der weder noch enthalten ist.
So, jetzt geht es endlich los mit der Rechnung.
Bitte unbedingt hinschreiben!
Was würdest du jetzt als nächstes machen? Bitte, erst selbst überlegen!
Vielleicht bist du auf die Idee gekommen, durch 
zu teilen. Dann bist du genau in die Falle getappt! An dieser Stelle darfst du nämlich keinesfalls durch 
dividieren, denn könnte schließlich Null ergeben und durch Null darf man nicht teilen!
