Aufgaben mit Funktionenscharen, Ortskurven von Hoch-, Tief- oder Wendepunkten berechnen
Wegen a >0 sind die x-Koordinaten der Tiefpunkte allerdings immer positiv. (x = 3a ist für a >0 schließlich immer positiv.) Daraus folgt, dass die Funktion 
nur für positive reelle Zahlen x Ortskurve der relativen Tiefpunkte ist. Ihre Definitionsmenge ist somit 
.
Damit du dir das Ganze besser vorstellen kannst, hier eine Abbildung, die einige Graphen der Schar 
und die Ortskurve ihrer TIP zeigt.
Abb.:Einige Graphen der Schar 
mit x 
ℝ und die schwarz gestrichelte Ortskurve der relativen Tiefpunkte mit 
. Die Tiefpunkte der dargestellten Scharfunktionen sind jeweils rot markiert. Die vier blau dargestellten Graphen gehören zu den Parameterwerten a = 0,25 , a = 0,5 , a = 0,75 und a = 1. (Diese Werte von a wurden rein beliebig gewählt.)
In der Abbildung siehst du, dass wirklich alle Tiefpunkte der Schar auf der Funktion mit x >0 liegen. Dass die Ortskurve der TIP wirklich nur für x >0 gilt, erkennst du in der Abbildung daran, dass die Tiefpunkte der Schar alle rechts von der y-Achse liegen. Du weißt bestimmt:Alle Punkte, die rechts von der y-Achse im Koordinatensystem liegen, haben positive x-Koordinaten. Es gilt also offensichtlich x >0 für die x-Koordinaten der TIP. (Genau das haben wir ja auch vorher bei der Definitionsmenge der Ortskurve der TIP herausgefunden.) Die schwarz gestrichelte Ortskurve der TIP darf wegen x >0 nur rechts von der y-Achse gezeichnet werden.
| Zusammenfassung: Ortskurve ermitteln (2. Methode)
· x-Koordinate des jeweiligen Punktes (HOP, TIP oder WEP, je nachdem was für eine Ortskurve gesucht ist) in Abhängigkeit vom Parameter berechnen. (Zugehörige y-Koordinate braucht nicht berechnet werden!) · Die berechnete x-Koordinate als Gleichung auffassen und nach dem Parameter auflösen. · Das Ergebnis in die Gleichung der gegebenen Schar für jeden auftretenden Parameter einsetzen. Dies ergibt die gesuchte Ortskurve;du musst sie nur noch so weit möglich vereinfachen. Fertig! · Vergiss aber nicht zusätzlich zu der ermittelten Gleichung der Ortskurve die Definitionsmenge der Ortskurve anzugeben! Dazu musst du dir überlegen, welche Werte die jeweilige x-Koordinate des HOP, TIP bzw. WEP überhaupt annehmen kann. Dies hängt auch von den Werten des Parameters ab, die in der jeweiligen Aufgabe zugelassen sind. Du musst also genau lesen, für welche a die jeweilige Funktionenschar gilt, also ob da steht a |
.
