Grenzwerte von e- und ln-Funktionen
Der zweite Faktor 
geht für 
gegen 
, wegen 
.
Der gesamten Grenzwert wird dann folgendermaßen ermittelt:
Begründung:Die e-Funktion wächst schneller als jedes Polynom, die e-Funktion überwiegt.
Weil die Null von der e-Funktion kommt, setzt sich die Null gegenüber dem Unendlich durch und es kommt 0 als Endergebnis heraus. Das Vorzeichen der 0 muss man sich allerdings gesondert überlegen: 
2. Methode:Verwendung eines bekannten Grenzwerts
Man formt die Funktion 
so um, dass man letztendlich auf den bekannten Grenzwert 
kommt.
Das Vorzeichen der Null lässt sich nicht aus dem Grenzwert 
, der in der Formelsammlung bzw. Merkhilfe steht, ablesen. Wenn es angegeben werden soll, muss man es sich selbst überlegen:Da hier sowohl der Zähler wegen der geraden Potenz als auch der Nenner wegen der e-Funktion immer positiv sind, ist das Vorzeichen des gesamten Bruchs positiv und somit ergibt sich natürlich Null Plus.
3. Methode:Verwendung der Regel von L´Hospital (Nicht auf dem Lehrplan für Gymnasien in Bayern G8. Die Regel ist aber recht einfach anzuwenden und daher sehr praktisch.)
Regel von L´Hospital
Die Regel von L´Hospital besagt im Prinzip Folgendes:
Bei Grenzwerten, die (vom Vorzeichen abgesehen) zu Ausdrücken der Form 
oder 
führen, gilt: 
Das bedeutet, dass man Grenzwerte der Form 
oder 
berechnen kann, indem man den Zähler 
und den Nenner 
der vorliegenden Funktion 
getrennt ableitet (also den Bruch nicht mit der Quotientenregel ableiten) und dann den entsprechenden Grenzwert von 
berechnet. Das gleiche gilt auch für Grenzwerte der Form: 
oder 
Wie man jeweils die Ableitung von Zähler und Nenner bildet, wird ausführlich erklärt im Kapitel Differenzialrechnung bei Einfache Ableitungsregeln und Weitere Ableitungsregeln.
Die Regel von L´Hospital wird also ausschließlich bei der Berechnung von Grenzwerten, die zu Ausdrücken der Form oder führen, angewendet. Sie ist keine Ableitungsregel! Sie dient ausschließlich der Berechnung von unbestimmten Ausdrücken der Form oder .
Merke:Bei der Regel von L´Hospital einfach die Ableitung des Zählers durch die Ableitung des Nenners teilen und davon dann den Grenzwert bestimmen, nicht die Quotientenregel verwenden! Wir berechnen damit nicht die Ableitung der gesamten Funktion, sondern den jeweiligen Grenzwert der Funktion.
Damit die Regel von L´Hospital angewendet werden kann, muss zuerst ein Bruch vorliegen, dessen Grenzwert von den Vorzeichen mal abgesehen entweder zu oder führt. Will man die Regel von L´Hospital auch auf den Fall 
anwenden, muss die Funktion vorher in einen Bruch umgewandelt werden. Das geht mit dem Potenzgesetz 
. (Dieses Potenzgesetz bedeutet, dass man das Vorzeichen des Exponenten umdrehen muss, wenn man etwas aus dem Zähler in den Nenner verschieben will. Vergleiche „Aufzugfahren“!) Nach der Umwandlung in einen Bruch liegt dann entweder der Fall oder vor, so dass sich nun die Regel von L´Hospital anwenden lässt. Um den Grenzwert zu berechnen, leitet man jeweils im Zähler und Nenner einzeln ab und versucht dann erneut den Grenzwert zu berechnen. Wenn sich immer noch ein unbestimmter Ausdruck, also oder ergibt, kann man auch noch einmal die Ableitung des Zählers sowie des Nenners bilden und dann wieder versuchen, den Grenzwert zu berechnen. Eventuell müssen Zähler und Nenner sogar ein drittes und viertes Mal abgeleitet werden, bis sich kein unbestimmter Ausdruck mehr ergibt.
