Grenzwerte von e- und ln-Funktionen

Etwas unorthodox geschrieben:

Damit können wir den gesuchten Grenzwert ermitteln.

Für werden die Funktionswerte unendlich klein, d.h. der Graph von geht im Koordinatensystem nach rechts unten. Die Funktion hat für keine Asymptote.

Zu1e.)

Erläuterung:

Um auf dieses Ergebnis zu kommen, musst du in Gedanken zuerst nur in eine Zahl für x einsetzen, die minimal größer ist als 4, beispielsweise 4,1 oder 4,01. So kommst du darauf, dass der Ausdruck gegen geht. Dann überlegst du dir, wie sich die ln-Funktion für verhält. Wie bereits vorher besprochen gilt:

Daraus folgt:

Die Funktion hat bei x = 4 eine senkrechte Asymptote. Ihr Graph nähert sich von rechts an diese Asymptote an und schießt dort steil nach unten.

Zu 1f.)

Erläuterung:

Diese Teilaufgabe lässt sich vom Prinzip her wie 1e.) lösen. Um auf das Ergebnis zu kommen, betrachten wir zuerst nur das Argument des ln, also den Ausdruck . Wenn man die Zahl – 4 einsetzt, kommt Null heraus. Setzt man eine Zahl für x ein, die minimal kleiner ist als – 4, beispielsweise – 4,1, erhält man ein positives Ergebnis. (Achtung:„Kleiner“ bedeutet immer „weiter links auf dem Zahlenstrahl“.) Man stellt also fest, dass der Ausdruck gegen geht. Dann überlegt man, wie sich die ln-Funktion für verhält. Inzwischen weißt du bestimmt, dass gilt:

Daraus folgt:

Die Funktion hat bei x = – 4 eine senkrechte Asymptote. Ihr Graph nähert sich von links an diese Asymptote an und schießt dort steil nach unten.

Zu 1g.)

Erläuterung:

Dass das Argument für gegen Unendlich geht, ist dir bestimmt klar:

Die Funktion geht für ebenfalls gegen Unendlich. Es gilt:

Damit ergibt sich:

Zu 1h.)

Erläuterung:

Das Argument geht auch für gegen Unendlich;das ist dir bestimmt klar:

Die Funktion geht für ebenfalls gegen Unendlich. Es gilt:

Damit ergibt sich für den Grenzwert das gleiche Ergebnis wie bei dem Grenzwert , den wir schon in Teilaufgabe 1g.) ermittelt haben:

Die Funktion ist wegen achsensymmetrisch zur y-Achse. (Das liegt an der geraden Potenz von x. Siehe auch:Symmetrie zum Koordinatensystem) Daher muss zwangsläufig bei und dasselbe Ergebnis herauskommen. Wenn man die Symmetrie von vorher durch Rechnung nachgewiesen hat, darf man auch ohne weiteres von dem einen Grenzwert auf den anderen schließen.

Die Grenzwerte des ersten Beispiels ließen sich alle noch recht leicht ermitteln. Es kann aber auch schwieriger werden:Was kommt beispielsweise bei heraus?

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