Grenzwerte von e- und ln-Funktionen
Du denkst dir quasi folgendes:
Wie oben schon erwähnt solltest du das in Prüfungen so nicht hinschreiben. Die beiden Zwischenschritte, die in Anführungszeichen gesetzt sind, bitte weglassen!
Eine mathematisch korrekte Schreibweise ist beispielsweise:
So oder ähnlich kannst du das also auch in Prüfungen schreiben.
Für 
geht die Funktion 
gegen 
. Die Funktionswerte von 
nehmen für , also ganz weit rechts im Koordinatensystem, unendlich große Werte an. Anschaulich bedeutet das, dass der Graph der Funktion im Koordinatensystem nach rechts oben geht.
Zu 1b.)
Wie kommt man auf dieses Ergebnis? Ganz einfach, man geht im Prinzip wie in Teilaufgabe 1a.) vor. Man überlegt sich also zuerst einzeln, wohin die Faktoren 
und 
für 
gehen. Dazu setzt du in Gedanken 
für x ein.
Der Faktor geht für offensichtlich gegen :
Der Faktor geht für gegen 
:
Insgesamt ergibt sich dann:
Den Zwischenschritt mit den Anführungszeichen bitte bei Prüfungen nicht hinschreiben! Besser eine der beiden folgenden Schreibweisen wählen:
Für geht die Funktion 
gegen . Die Funktionswerte von nehmen für , also ganz weit links im Koordinatensystem, unendlich kleine Werte an. Was bedeutet dieses Ergebnis anschaulich? Der Graph der Funktion läuft im Koordinatensystem nach links unten.
Zu 1c.)
Erläuterung:
Hier ist der rechtsseitige Grenzwert der Funktion 
an der Stelle x = 0 gesucht. (Das erkennt man an dem Größer-Zeichen bei 
.) In anderen Worten:Wir sollen uns von rechts, also vom Positiven, an die Stelle x = 0 annähern, d.h. 
. Die ln-Funktion 
ist bekanntlich nur für positive Zahlen definiert;an der Stelle x = 0 ist sie also nicht definiert, deshalb müssen wir ja den Grenzwert 
berechnen und nicht einfach 
.
Wir machen uns vorweg bewusst, wie sich die ln-Funktion für 
verhält. Ihr Graph hat die y-Achse als senkrechte Asymptote, er kommt von rechts an die y-Achse heran und schießt dort steil nach unten.
Deswegen gilt: 
Daraus folgt:
Was bedeutet dieses Ergebnis anschaulich für den Graph der Funktion 
? Ihr Graph nähert sich von rechts an die y-Achse an und schießt dort, genauso wie die Funktion selbst, steil nach unten. Die Funktion hat also ebenfalls die y-Achse als senkrechte Asymptote.
Die Gleichung der senkrechten Asymptote von lautet:x = 0
Zu 1d.)
Erläuterung:
Es ist der Grenzwert der Funktion für gesucht. Wir überlegen uns zuerst, wie sich die ln-Funktion für verhält. Die ln-Funktion wächst bekanntlich sehr langsam, aber ihre Funktionswerte nehmen dennoch mit zunehmenden x immer weiter zu. Die Funktion geht also für gegen Unendlich.
