Grenzwerte von e- und ln-Funktionen

Berechne die folgenden Grenzwerte!

a.)

)

c.)

d.)

e.)

Hinweis:Die Grenzwerte und für k ℝ dürfen als bekannt vorausgesetzt werden.

Lösung:

Zu 7a.)

Wir bringen den gesuchten Grenzwert vorweg auf die Form , indem wir das Minuszeichen in den Zähler des Bruchs schreiben.

Nun lässt sich die Formel anwenden. Die Zahl -1 im Zähler des Bruchs in unserem gesuchten Grenzwert entspricht dem Buchstaben k aus dem bekannten Grenzwert . Daher gilt:

Zu 7b.)

Wir bringen den Grenzwert wieder auf die Form , indem wir das Minuszeichen und die Zahl in den Zähler des Bruchs schreiben.

Die Zahl im Zähler des Bruchs entspricht dem Buchstaben k aus dem bekannten Grenzwert . Daher gilt:

Zu 7c.)

Bei diesem Grenzwert müssen wir gar nicht lange rechnen. Es lässt sich sofort erkennen, dass der Ausdruck innerhalb der Klammer für sehr große n gegen 2 geht. Jede Zahl, die größer ist als 1, wird unendlich groß, wenn man sie mit einer unendlich großen Zahl potenziert, also auch die Zahl 2. Es ist ja auch logisch, dass unendlich großwird, wenn man unendlich viele Zweier miteinander multipliziert. Es muss daher zwangsläufig gelten:

Du kannst dir das auch folgendermaßen klar machen:

Zu 7d.)

Auch bei diesem Grenzwert muss man nicht lange rechnen, um das Ergebnis zu bestimmen. Offensichtlich geht der Ausdruck innerhalb der Klammer für sehr große n gegen . Potenziert man eine positive Zahl, die kleiner ist als 1, mit einer unendlich großen Zahl, wird das Ergebnis immer kleiner, d.h. es geht gegen Null. Die Zahl ist natürlich positiv und kleiner als 1. Die Zahl wird logischerweise immer kleiner, wenn man sie unendlich oft mit sich selbst multipliziert. Wir vermuten daher, dass der gesuchte Grenzwert gegen Null geht. Der Ausdruck ist aber leider nicht exakt gleich , sondern ein klein wenig größer. Mit einem kleinen Trick lässt sich jedoch ganz leicht zeigen, dass tatsächlich gegen Null geht. Ab gilt nämlich:

Multipliziert man die Zahl unendlich oft mit sich selbst, wird sie logischerweise immer kleiner. Es gilt deshalb:

(Man kann dabei auch den bekannten Grenzwert der geometrischen Folge für verwenden.)

Weil ab der Grenzwert kleiner ist als und außerdem gilt, muss zwangsläufig auch gelten.

Zu 7e.)

Um diesen Grenzwert zu bestimmen wenden wir vorweg die dritte binomische Formel auf den Ausdruck innerhalb der Klammer an:

Nun können wir die Grenzwerte und verwenden. Damit ergibt sich:

Damit ist diese Aufgabe gelöst. Es gibt noch viele interessante, d.h. schwierige Grenzwerte, die mit der Zahl e zu tun haben, doch würde das den Rahmen dieser website sprengen und außerdem sind sie für die Abiturprüfung sowieso nicht wirklich wichtig. (Wenn du dich für so etwas wirklich interessierst, dann solltest du Mathe studieren.) Die Grenzwerte, die in Abiturprüfungen tatsächlich verlangt werden, sind in der Regel deutlich einfacher als die im 7. Bsp. gezeigten Grenzwerte. Nur Aufgaben vom Schwierigkeitsgrad des 1. Bsp. bis zum 6. Bsp. sind abiturrelevant.

---