Grenzwerte von e- und ln-Funktionen

Geg.:

Ges.: und Verhalten für (einschließlich der Asymptote)

Ermittlung der maximalen Definitionsmenge :

Der Nenner der Funktion macht uns keine Probleme. Bei kann man alle reellen Zahlen einsetzen, weil für x ℝdefiniert ist. Da sowieso immer positiv ist, egal was man für x einsetzt, kann der Nenner in diesem Fall niemals gleich Null werden. In den Nenner kann man also sämtliche reelle Zahlen einsetzen. Anders sieht es jedoch mit dem Zähler der Funktion aus. Der Ausdruck , der im Zähler unter der Wurzel steht, muss schließlich größer oder gleich Null sein;ansonsten wäre die Wurzel nicht definiert. Dass der Radikand, d.h. der Ausdruck unter der Wurzel, nicht negativ sein darf, ist dir bestimmt klar:Aus negativen Zahlen kann man die Wurzel ja nicht ziehen. Die Funktion ist also nur dann definiert, wenn gilt:

Um herauszufinden, für welche x diese Ungleichung erfüllt ist, lösen wir einfach nach x auf.

Die gesuchte Definitionsmenge lautet daher:

Verhalten von für :

Setzt man in Gedanken Unendlich für x ein, stellt man fest, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner von gegen Unendlich gehen. Es gilt schließlich: Wir stehen also vor dem Problem , was bekanntlich ein unbestimmter Ausdruck ist. Damit wir den Grenzwert leichter berechnen können, formen wir so um, dass die Wurzel über dem gesamten Bruch zu stehen kommt. Es soll also nachher alles unter einer großen Wurzel stehen. Dazu muss der Nenner quadriert werden.

Hinweis:Bei der Umformung wurde das Potenzgesetz verwendet.

Als nächstes teilen wir den Bruch unter der Wurzel in zwei Einzelbrüche auf. Jeder Summand im Zähler wird dazu einzeln durch den Nenner geteilt. Beim ersten Teilbruch lässt sich dann mit kürzen.

Die Grenzwerte von und für lassen sich leicht ermitteln. Es gilt:

Damit lässt sich der gesuchte Grenzwert leicht ausrechnen.

(Es ergibt sich , weil das Ergebnis einer Wurzel immer positiv ist, wenn die Zahl unter der Wurzel nicht exakt gleich Null ist.)

Die Funktion hat für die x-Achse als waagrechte Asymptote. Am Vorzeichen von erkennt man, dass sich der Graph für von oben an die x-Achse annähert.

Alternativ zu der soeben gezeigten Berechnung des Grenzwertes durch Aufteilen des Bruches in zwei Einzelbrüche, kann man auch folgendermaßen argumentieren:

Der Bruch geht gegen Null, weil der Nenner schneller wächst als der Zähler. ( und gehen beide gegen Unendlich, aber der Nenner geht schneller gegen Unendlich als der Zähler . „Kleineres Unendlich“ durch „größeres Unendlich“ geht gegen Null.) Die Wurzel aus Null ergibt wieder Null, also gilt:

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