Definitionsmenge ermitteln bei e- und ln- Funktionen
1. Bsp.:Definitionsmenge von e-Funktionen
Gib die maximale Definitionsmenge der folgenden Funktionen an!
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
Lösung:
Zu 1a.)
Gesucht:
Da die Funktion weder einen Logarithmus, noch eine Wurzel und auch kein x im Nenner hat (überhaupt kein Bruch vorhanden), kann man beliebige reelle Zahlen für x einsetzen. ist schließlich für x ℝ definiert. Die gesuchte Definitionsmenge lautet:
Zu 1b.)
Gesucht:
Bei kann man zwar jede beliebige reelle Zahl für x einsetzen, aber nicht bei . Bei dem Ausdruck steht die Variable x im Nenner;der Nenner darf jedoch nicht Null ergeben. Daher kann die Zahl 0 nicht für x eingesetzt werden. Folglich kann man „Alles außer 0“ für x einsetzen. (Mit „Alles“ sind „alle reellen Zahlen gemeint, da wir in der Oberstufe grundsätzlich mit der Grundmenge ℝ rechnen.) Es gilt somit für die Definitionsmenge:
Zu 1c.)
Gesucht:
Bei kann man zwar jede beliebige reelle Zahl für x einsetzen, aber der Nenner darf nicht gleich 0 werden.
Mit einem Ungleichheitszeichen rechnet es sich aber schlecht. Wir rechnen daher vorweg einfach aus, für welchen Wert (bzw. für welche Werte) von x der Nenner genau 0 ergeben würde. D.h. wir setzen den Nenner gleich 0, lösen nach x auf und schließen bei der Definitionsmenge den berechneten Wert (bzw. die berechneten Werte) dann einfach wieder aus.
Nenner = 0
Wegen ergibt sich:
Wenn du für x die Zahl 0 in einsetzen würdest, würde der Nenner 0 ergeben. Die Division durch Null ist aber nicht definiert;deshalb musst du die Zahl 0 aus der Definitionsmenge ausschließen. Es gilt somit für die Definitionsmenge:
Zu 1d.)
Gesucht:
Bei dieser Funktion kann man die Definitionsmenge auch ohne jegliche Rechnung erkennen. Bei kann man jede beliebige reelle Zahl für x einsetzen. Zu beachten ist allerdings, dass der Nenner der Funktion die Variable x enthält. Du musst dir deshalb überlegen, ob der Nenner gleich Null werden kann. Das kann er aber nicht, denn ist immer positiv, also größer Null und niemals gleich Null! Woher weißman das? Der Ausdruck ist grundsätzlich positiv, was du auch daran erkennst, dass der Graph der Funktion nur oberhalb der x-Achse verläuft. Wenn schon positiv ist, muss erst recht positiv sein. Wenn man zu einer positiven Zahl etwas dazuzählt, wird es ja noch größer.
Vorsicht:Hätte oder minus irgendeine andere Zahl im Nenner gestanden, hätten wir nicht so argumentieren können.