Die ln-Funktion spiegeln, stauchen/strecken und verschieben

Abschließend noch ein kleiner Tipp zu ln-Funktionen mit Betrag um den gesamten Funktionsterm herum:

Den Graph einer Funktion der Form erhältst du, indem du nur den unterhalb der x-Achse liegenden Teil des Graphen der Funktion an der x-Achse nach oben spiegelst. Am oberhalb der x-Achse liegenden Teil des Graphen von änderst du gar nichts. Es entsteht dadurch am Graph der für Betragsfunktionen typische „Knick“ an der Nullstelle. Schauen wir uns dafür gleich ein konkretes Beispiel an.

5. Bsp.:

Es soll der Graph der Funktion schrittweise aus dem Graph der Funktion hergeleitet werden. Zeichne dazu die Graphen der folgenden Funktionen:

Welche Abbildung muss durchgeführt werden, um aus dem Graph der Funktion den Graph der Funktion herzuleiten, welche um vom Graph der Funktion zum Graph der Funktion zu kommen usw. bis zum Graph der Funktion ?

Lösung:

Verschiebung von um 1 nach links ergibt .
Streckung von entlang der y-Achse mit dem Faktor 1,5 ergibt .
Verschiebung von um 2 nach unten ergibt .
Spiegelung des unterhalb der x-Achse liegenden Teils von an der x-Achse ergibt .

Sehr häufig finden sich in Prüfungen auch Aufgaben, bei denen du einigen gegebenen Graphen den jeweils zugehörigen Funktionsterm zuordnen musst. Im nächsten Beispiel kannst du so eine Aufgabe sehen.

6. Bsp.:Graphen zuordnen

Gegeben sind die Funktionen:

In der nachfolgenden Abbildung sind die Graphen dieser Funktionen dargestellt. Welcher Graph gehört zu welcher Funktion?

Lösung:

Die angegebenen Funktionen lassen sich mit Hilfe ihrer Definitionsmenge und ihres Monotonieverhaltens bzw. des Verhaltens in der Umgebung der senkrechten Asymptote den in der Abbildung dargestellten Graphen zuordnen. Du kannst dir aber auch überlegen durch welche Abbildungen der Graph der jeweiligen Funktion aus dem Graphen von entsteht. Dadurch kann man sich den Verlauf des zugehörigen Graphen grob vorstellen und ihn richtig zuordnen.

Rosa

Hellblau

Dunkelblau

Rot

Grün

Erläuterungen:

Der Graph der Funktion entsteht aus dem Graphen von durch Spiegelung an der y-Achse und anschließender Verschiebung um 1 nach unten. Die Funktion ist nur für negative x definiert;ihr Graph verläuft somit ausschließlich links von der y-Achse.

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