Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen

Man nennt eine solche Folge von unendlich vielen Intervallen Intervallschachtelung; sie dient der Abschätzung bzw. Festlegung einer bestimmten Zahl. Dabei werden die Intervalllängen immer kleiner und somit wird die Abschätzung auch immer genauer. Jedes Intervall liegt vollständig im Vorhergehenden.

Man kann die Intervallschachtelung beliebig fortführen und die Intervalllängen beliebig klein machen. Letztendlich gibt es nur eine Zahl, die in jedem dieser Intervalle liegt. Daher ist durch die Intervallschachtelung eine Zahl eindeutig festgelegt. Diese Zahl kann rational sein, also eine endliche oder periodische Dezimalzahloder irrational, d.h. eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl. Wir müssen deshalb eine neue Zahlenmenge einführen, die zusätzlich zu den rationalen Zahlen auch unendliche nicht periodische, also irrationale Zahlen enthält.

Fazit:

Es handelt sich bei der gesuchten Zahl s um eine unendliche nicht periodische Zahl, also um eine irrationale Zahl.

Sie lässt sich durch eine Intervallschachtelung festlegen.

Um sie genau berechnen zu können, benötigen wir eine neue, größere Zahlenmenge.

Bevor wir uns im Folgenden dieser neuen Zahlenmenge widmen, sollen noch einmal die bereits bekannten Zahlenmengen wiederholt werden:

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