Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen

4. Bsp.:

So, nun wird es scheinbar schwierig! und
, aber welche rationale Zahl ergibt quadriert?

Die Antwort ist einfach: Es gibt keine rationale Zahl, die diese Bedingung erfüllt!

In anderen Worten: Es gibt weder eine Dezimalzahl, noch einen Bruch, der die Gleichung erfüllt. Nun könnte man glauben, dass sich Gleichungen vom Typ

nur dann lösen lassen, wenn a eine Quadratzahl oder das Quadrat einer rationalen Zahl ist. Wir werden sehen, dass a zwar positiv oder gleich Null sein muss, aber nicht unbedingt eine Quadratzahl oder das Quadrat einer rationalen Zahl.

Man erkennt dies sehr schön an einem Anwendungsbeispiel: Es sei A der Flächeninhalt eines Quadrats; seine Seitenlänge s soll ermittelt werden. Im ersten Beispiel soll der Flächeninhalt A

betragen. Wie groß ist die zugehörige Seitenlänge s? (vgl. Abb. 1)

Abb.1 Quadrat mit dem Flächeninhalt 16

Lösung:

Da ergibt sich folgende reinquadratische Gleichung:
Diese Gleichung hat nur eine Lösung, da s eine Länge darstellt und deshalb positiv sein muss. Man erkennt sofort, dass s=4cm die Gleichung erfüllt. Das war noch ganz leicht. Doch in unserem zweiten Beispiel soll die Seitenlänge s eines Quadrats der Fläche ermittelt werden.

In Abb.2 ist so ein Quadrat dargestellt.2

Dass das Problem lösbar sein muss, ist offensichtlich. Doch wie man die Lösung findet, ist noch nicht klar. Man könnte zum Beispiel versuchen, die Seitenlänge in Abb.2 abzumessen. Der gesuchte Wert liegt wohl zwischen 1,4cm und 1,5cm. Das wäre aber sehr ungenau auf Grund der Zeichen- und Messungenauigkeit. Also versuchen wir es wieder rechnerisch, indem wir wie vorher eine Gleichung aufstellen.

Geg.:

Ges.: s

⇔

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