Algebra » Quadratwurzel » Irrationale Zahlen, die Menge der reellen Zahlen und reinquadratische Gleichungen in der Menge ℝ

Irrationale Zahlen, die Menge der reellen Zahlen und reinquadratische Gleichungen in der Menge ℝ

Später werden wir sehen, dass es auch verschiedene konstruktive Verfahren mit Hilfe der Satzgruppe des Pythagoras gibt, mit deren Hilfe sich irrationale Wurzeln konstruieren lassen. Im Kapitel 9.2 wird das noch genauer erklärt werden. Auch das sogenannte Heron-Verfahren bietet eine Möglichkeit, irrationale Wurzeln näherungsweise abzuschätzen (Siehe Kapitel 9.1.4)

Diese Verfahren brauchst du nur beherrschen, wenn sie im Unterricht besprochen wurden. Haupt- und Realschüler können sie auf jeden Fall überspringen, da sie die Wurzeln sowieso meistens einfach in den Taschenrechner eingeben und dann runden dürfen. Auch von manchen Gymnasiallehrern werden die oben erwähnten Näherungs- und Konstruktionsverfahren aus Zeitgründen übergangen, dann kannst du die entsprechenden Kapitel dieses Programms ruhig weglassen, da du diese Verfahren später nicht mehr brauchst.

Was aber jeder Schüler nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Chemie oder Physik immer wieder braucht, das sind reinquadratische Gleichungen: Also Gleichungen, die zwar ein

enthalten, aber kein

(ohne Quadrat). Die Gleichung A)

ist z.B. im Gegensatz zu der Gleichung B)

nicht reinquadratisch, sondern gemischtquadratisch, da Gleichung A) zusätzlich zu

auch die Variable

(ohne Quadrat) enthält.
Wie gemischtquadratische Gleichungen gelöst werden können, kannst du im Kapitel 9.3 nachlesen, momentan brauchst du Gleichung A) jedoch noch nicht lösen können. Sie sollte nur der Unterscheidung zwischen gemischtquadratischen und reinquadratischen Gleichungen dienen.
Nun zurück zu den reinquadratischen Gleichungen: Bereits im Beispiel 3a) wurde gezeigt, wie man solche Gleichungen löst.
Es gibt aber noch einiges, was dabei zu Problemen und häufigen Fehlern führen kann. Daher sollen noch weitere typische Aufgabenbeispiele vorgestellt werden.


			Lösungsmenge bezüglich =			Lösungsmenge bezüglich
Erklärung: ∣-3 Vorsicht: Da wegen der geraden Potenz gar nicht negativ werden kann, kann es keine Lösung dieser Gleichung geben! Eine Quadratzahl kann gar nicht negativ sein! Deshalb hat die Gleichung auch in der Grundmenge ℝ keine Lösung. Zur Erinnerung: Weder noch ergibt , deshalb kann man auch aus keine Wurzel ziehen! Wie wir bereits gelernt haben, darf der Radikand, also die Zahl unter der Wurzel, niemals negativ sein! Das ist auch absolut logisch, wenn man sich bewusst macht, dass keine reelle Zahl quadriert negativ werden kann und das Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens darstellt. Wenn du versucht hättest die Wurzel zu ziehen, wäre der Radikand negativ geworden und du weißt: Aus negativen Zahlen darf die Wurzel nicht gezogen werden! Also hättest du nun ebenso bemerkt, dass die Gleichung weder in der Grundmenge ℚ noch in der Grundmenge ℝ eine Lösung hat.
			Lösungsmenge bezüglich				Lösungsmenge bezüglich
Erklärung: Da sich die Wurzel in diesem Fall ziehen lässt, ergeben sich zwei verschiedene rationale Lösungen. (Anmerkung: ist als Bruch eine rationale Zahl und gehört sowohl zur Menge ℚ als auch zur Menge ℝ.)
			Lösungsmenge bezüglich			Lösungsmenge bezüglich
Erklärung: Wichtig: Ziehe sofort die Wurzel! Rechne also nicht zuerst die Klammer mit dem Quadrat aus, sonst bekommst du eine gemischtquadratische Gleichung, die du im Moment noch nicht lösen kannst. ∨
e)		Lösungsmenge bezüglich			Lösungsmenge bezüglich
Erklärung: ∣+1 ∣ ∣ ∨
f)	Lösungsmenge bezüglich			Lösungsmenge bezüglich
Erklärung: ∣ Da im Ergebnis eine Wurzel im Nenner vorkommt, wenden wir noch eine Umformung an, die den Nenner rational macht, d.h. die Wurzel aus dem Nenner beseitigt. (Im Zähler darf eine Wurzel stehen, aber nicht im Nenner.) Wir erweitern mit der Wurzel, die wir aus dem Nenner beseitigen wollen; in diesem Fall müssen wir also mit erweitern. Mit anderen Worten: Wir multiplizieren im Zähler und im Nenner mit ! =