Irrationale Zahlen, die Menge der reellen Zahlen und reinquadratische Gleichungen in der Menge ℝ
Bsp. 3: Löse folgende reinquadratische Gleichungen! Gib die Lösungsmenge einmal bezüglich der Grundmenge 
und einmal bezüglich der Grundmenge 
an!
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Erklärung:
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Lösungsmenge
bezüglich |
Lösungsmenge
bezüglich |
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Da  |
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und 
leer.
vergleichst, wirst du feststellen, dass unser ursprüngliches Problem mit reinquadratischen Gleichungen nun gelöst ist. In der Menge der rationalen Zahlen ℚ gibt es für diese Gleichung keine Lösung, da es sich bei der Zahl 5 um keine Quadratzahl handelt. Erst in der erweiterten Zahlenmenge der reellen Zahlen ℝ, die auch irrationale Zahlen wie z.B.
enthält, lässt sich die Aufgabe lösen. Einer der häufigsten Fehler ist das Vergessen des Plus/Minuszeichens! Mache dir bewusst, dass es sich bei dieser Schreibweise nur um eine verkürzte Darstellung für die beiden Lösungen 
und 
handelt. Vergisst du das 
, dann fehlt dir eine der beiden möglichen Lösungen und das ist wirklich ein schwerwiegender Fehler!Natürlich könnte man noch in den Taschenrechner eingeben. Das Ergebnis wäre aber kein exaktes Ergebnis, sondern nur ein gerundeter Wert, deshalb wird auf Gymnasien, Fach- und Berufsoberschulen in der Regel auf jegliche Rundungen verzichtet; in den eben aufgeführten Schularten gelten gerundete Ergebnisse als falsch! (Eine der Ausnahmen von dieser Regel stellen allerdings oft Textaufgaben dar; dabei werden die Ergebnisse tatsächlich auch im Gymnasium oft gerundet angegeben.) Auf Haupt- und Realschulen ist das Runden im Allgemeinen erlaubt; meist wird auf zwei Dezimalen, also auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Wenn du unsicher bist, ob das Runden erlaubt oder verboten ist, fragst du am besten deine(n) Mathelehrer(in)! Eine andere der wenigen Ausnahmen, wo Rundungen auch im Gymnasium und in anderen höheren Schulen erlaubt sind, sind Zeichnungen, in denen nicht ausdrücklich eine Konstruktion der Wurzel verlangt ist. Um zum Beispiel den Punkt P
in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, bleibt im Moment nur eine Möglichkeit: in den Taschenrechner eingeben und z.B. auf zwei Dezimalen runden; genauer kann man – außer bei einer Zeichnung auf Millimeterpapier- sowieso nicht zeichnen. 
