Irrationale Zahlen, die Menge der reellen Zahlen und reinquadratische Gleichungen in der Menge ℝ
In allen Aufgaben des Abschnitts Die Quadratwurzel und das Wurzelziehen musstest du nur Wurzeln ziehen, deren Radikand (=Ausdruck unter der Wurzel) das Quadrat einer rationalen Zahl war; daher ließen sich problemlos die Wurzeln ziehen. Jede Wurzel "ging auf";
genauer gesagt, das Ergebnis war immer eine rationale Zahl, also eine Zahl aus der Menge ℚ: Eine ganze Zahl, ein Bruch oder eine endliche bzw. periodische Dezimalzahl.
Nun stellt sich allerdings die Frage, wie man die Wurzel aus einer Zahl zieht, die nicht das Quadrat einer rationalen Zahl ist, wie zum Beispiel bei 
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Einfache Antwort: Man kann sie nicht ziehen! Wenn man in den Taschenrechner eingibt, bekommt man zwar scheinbar ein Ergebnis, eine Dezimalzahl mit 9 Nachkommastellen: 
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Dieses Ergebnis ist aber nicht exakt! Der Taschenrechner gibt nur einen auf 9 Nachkommastellen gerundeten Wert für an, weil sein Display nicht mehr Ziffern anzeigen kann.
lässt sich durch eine Dezimalzahl nicht genau angeben, sie hätte unendlich viele Nachkommastellen, ohne dabei periodisch zu sein.
Wir halten fest: lässt sich weder durch eine endliche oder periodische Dezimalzahl noch durch einen Bruch darstellen, deshalb gehört sie nicht zur Menge der rationalen Zahlen ℚ.
Man sagt: ist eine irrationale Zahl. Deshalb müssen wir eine neue, größere Zahlenmenge einführen, die zusätzlich zu den rationalen auch irrationale Zahlen enthält. Wir nennen diese die Menge der reellen Zahlen ℝ.
Zu den reellen Zahlen ℝ gehören also die bisher bekannten rationalen Zahlen und die neuen irrationalen Zahlen I.In einfachen Worten: Wurzeln, die man nicht ziehen kann, weil sie nicht aufgehen, sind irrational und gehören nicht zur Menge ℚ.
Sie gehören erst der größeren Zahlenmenge ℝ an. Alle Zahlen, die sich nicht als Bruch, endliche oder periodische Dezimalzahl ausdrücken lassen, sind ebenfalls irrational und gehören zur Menge ℝ, nicht aber zur Menge ℚ.
Da auch die Kreiszahl πeine unendliche, nicht periodische Zahl darstellt, ist π ebenfalls eine irrationale Zahl.
