Die Quadratwurzel und das Wurzelziehen

Bsp.:    

Aber Vorsicht: Steht unter der Wurzel das Quadrat einer negativen Zahl, so ergibt sich der Betrag dieser Zahl! Das Ergebnis der Wurzel ist immer positiv!

Bsp.:  1.Methode                               oder                   2. Methode

Man erkennt, dass hier die Regel „Wurzel und Quadrat heben sich auf“ nicht gilt, denn sonst würde als Ergebnis -13 herauskommen! Du kannst nun entweder, wie in der ersten Methode gezeigt, zuerst quadrieren. Dadurch erhält man eine positive Zahl, aus der man nun die Wurzel ziehen kann. Oder du wählst die zweite Methode und verwendest den Betrag. (Zur Erinnerung: Der Betrag einer Zahl ist immer positiv!)

Bsp.:  1. Methode                               oder                   2. Methode

Wenn du auf eine Realschule gehst, reicht es, die erste Methode zu beherrschen; die Betragsstriche brauchst du nicht. Alle Schüler eines Gymnasiums sollten allerdings auch die zweite Methode beherrschen, da wir später wieder darauf zurückkommen werden. (Siehe: 9.1.4 Radizieren mit Fallunterscheidung)

Zusammenfassung zum Radizieren:

• Für positive Zahlen gilt: Wurzel und Quadrat heben sich auf
• Bei Brüchen wird einzeln aus Zähler und Nenner radiziert
• Gemischte Zahlen oder Dezimalbrüche (auch periodische!) werden in Brüche umgewandelt und danach ebenfalls im Zähler und Nenner einzeln radiziert.
• Die Wurzel aus einer Potenz zieht man, indem man den Exponenten halbiert. (Gilt nur bei positiver Basis!)

Vergleiche:

Du kannst natürlich all diese Zwischenschritte verwenden, um dieses Problem zu lösen. Jedoch sparst du sehr viel Zeit, wenn du dir merkst, dass durch die Wurzel einfach der Exponent halbiert wird.⇒ Die Wurzel halbiert den Exponenten!

Die Zahl bzw. der Term unter der Wurzel wird Radikand genannt. Der Radikand darf niemals negativ sein! Da das Quadrat einer Zahl nicht negativ sein kann, kann aus einer negativen Zahl auch keine Wurzel gezogen werden! Da z.B.  ist nicht definiert für !

Steht unter der Wurzel das Quadrat einer negativen Zahl, so ergibt sich der Betrag dieser Zahl! Das Ergebnis ist also eine positive Zahl! Vergleiche: 

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