Satz von Vieta
Da bei dieser Gleichung der Koeffizient a gleich 1 ist, liegt die Gleichung bereits in normierter Form 
vor und wir können die Zahl vor x (in unserem Fall:7) an Stelle von b auch mit p und die Zahl ohne x (in unserem Fall:12) an Stelle von c auch mit q bezeichnen.
Es gilt daher:p = 7 , q = 12
Jetzt wollen wir ´mal schauen, ob es überhaupt stimmt, was oben über den Zusammenhang der Lösungen 
und 
mit den Koeffizienten p und q gesagt wurde. Also addieren wir die beiden Lösungen und , um zu überprüfen, ob dabei wirklich –p herauskommt. Des Weiteren multiplizieren wir die beiden Lösungen und miteinander, damit wir kontrollieren können, ob sich tatsächlich q ergibt.
Das stimmt schon ´mal.
Stimmt auch!
Wir könnten das jetzt mit vielen verschiedenen Gleichungen der Form machen und würden dann feststellen, dass dieser Zusammenhang der Lösungen und mit p und q wirklich immer gilt. Diese Arbeit ersparen wir uns aber besser und versuchen uns lieber später an einem allgemeinen Beweis. (Der Beweis des Satzes von Vieta kommt erst ganz am Schluss dieses Kapitels. Die meisten Schüler finden allgemeine Beweise eher verwirrend, als hilfreich, weil sie ziemlich schwierig sind. Da auch dieser Beweis nicht so ganz leicht ist, heben wir ihn uns einfach für später auf. Du wirst ihn auch in Prüfungen niemals selbst durchführen müssen! Insofern könntest du ihn mit gutem Gewissen übergehen. Für besonders interessierte Schüler soll jedoch auch der Beweis ausführlich erklärt werden. Siehe unten!) Nun wollen wir den oben beschriebenen Zusammenhang der Lösungen und mit den Koeffizienten p und q aber erst einmal mathematisch korrekt niederschreiben.
Mathematisch geschrieben sieht das dann folgendermaßen aus:
| Satz von Vieta:
Für die Lösungen
|
und 
p, q 
ℝ Voraussetzung: D = Anmerkung:
Damit der Satz von Vieta gelten kann, muss die quadratischen Gleichung natürlich erst einmal lösbar sein. Genau dies drückt die Voraussetzung D = 
aus. Die Diskriminante D darf nicht negativ sein, damit es überhaupt Lösungen einer quadratischen Gleichung gibt, da die Diskriminante in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht, und aus negativen Zahlen bekanntlich keine Wurzel gezogen werden kann.
Du kennst sicher die Diskriminante der quadratischen Gleichung 
mit 
in der Form D = 
. Warum steht dann hier D = 
? Der Satz von Vieta bezieht sich ja auf die normierte Form einer quadratischen Gleichung, also auf eine quadratische Gleichung, in der „keine“ Zahl vor 
steht, genauer gesagt a = 1 gilt.
