Quadratische Ergänzung (zur Lösung gemischtquadratischer Gleichungen)

2. Variante

Ermittle durch quadratische Ergänzung die Lösungsmenge aller folgenden Gleichungen! G = ℝ

1. Bsp.:

Lösung:

1. Schritt:a = -2 ausklammern |

2. Schritt:Alles durch a dividieren |

3. Schritt:Konstante auf die rechte Seite bringen:   

4. Schritt:Quadratische Ergänzung

5. Schritt:Binomische Formel umformen

und soweit möglich Zusammenfassen |

6. Schritt:Wurzelziehen und nach x auflösen

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Die Lösungsmenge L lautet somit:    L =

2. Bsp.:

Lösung:

Wegen a = 1 (d.h. keine Zahl vor ) brauchen wir a hier nicht ausklammern und durch a dividieren. Daher entfallen die Schritte 1 und 2.

In diesem Fall bietet es sich an, nur den Term auf die linke Seite der Gleichung zu bringen, weil dann bereits die Konstante alleine auf der rechten Seite zu stehen kommt. Diese Umformung entspricht praktisch dem 3. Schritt.

3. Schritt:Gleichung so umstellen, dass die Konstante alleine auf der rechte Seite steht

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Nun können wir schon quadratisch ergänzen (vgl.:4. Schritt). Hinweis:Ein Bruch wird halbiert, indem man entweder den Zähler halbiert (wenn dadurch keine Kommazahl im Zähler des Bruchs entsteht) oder indem man den Nenner verdoppelt. Den Bruch halbiert man also durch Verdoppeln des Nenners, da eine Halbierung des Zählers zu der Dezimalzahl 0,5 führen würde und eine Kombination von Dezimalzahl (=Kommazahl) und Bruch wollen wir nicht haben. Die Hälfte von ist somit .

4. Schritt:Quadratische Ergänzung

5. Schritt:Binomische Formel umformen und rechte Seite zusammenfassen

6. Schritt:Wurzelziehen und jeweils nach x auflösen

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Die Lösungsmenge L über der Grundmenge G = ℝist damit:       L =

3. Bsp.:

Lösung:

Zuerst bringen wir alles auf eine Seite der Gleichung. Ob man alles nach links oder nach rechts bringt, ist hier völlig egal. Wir entscheiden uns dazu, alles auf die linke Seite der Gleichung zu bringen.

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