Diskriminante D

So erkennst du sicher, dass es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt. Die Nullstellen dieser Parabel würden sich berechnen lassen, indem man gleich Null setzt. So entstünde die Gleichung . Eben diese Gleichung haben wir bereits beim 1. Fall gelöst. Es ergab sich und  . Dort hat die Parabel also ihre Nullstellen. Mit diesem Wissen können wir die Parabel nun skizzieren, denn die x-Koordinate des Scheitels muss dabei natürlich in der Mitte der beiden Nullstellen liegen: Die y-Koordinate des Scheitels erhält man durch Einsetzen von in die Parabelgleichung:

Hinweis:Eigentlich kommt es bei der benötigten Skizze gar nicht darauf an, in welcher Höhe der Scheitel liegt und wie breit die Parabel ist. Entscheidend ist vielmehr, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, und wo die Nullstellen liegen. Es ist daher eine grobe Skizze von völlig ausreichend. Der Scheitel müsste eigentlich gar nicht vorher berechnet werden. Weil jedoch die Nullstellen für die Skizze benötigt werden, rechnet man immer vorher als 1. Fall D = 0. Damit hat man die Nullstellen der Hilfsparabel schon berechnet.

Merke:Kommt bei einer Fallunterscheidung der Parameter zum Quadrat vor, beginnt man immer mit dem Fall D = 0. Somit hat man die Nullstellen der Hilfsparabel, die man zum Lösen der quadratischen Ungleichungen beim 2. und 3. Fall braucht, bereits berechnet.

Wir skizzieren nun die Hilfsfunktion mit Hilfe ihrer Nullstellen.

Um jeweils die quadratischen Ungleichungen (bzw.  ) zu lösen, muss man jetzt nur noch aus der Skizze ablesen, für welche Werte von k die Parabel oberhalb (bzw. unterhalb) der k-Achse liegt. Denn  bedeutet nichts anderes als , und das bedeutet wiederum nichts anderes als, dass die y-Werte von positiv sein sollen, also dass die Hilfsparabel oberhalb der k-Achse liegen soll. Entsprechend  ist nichts anderes als , also muss die Hilfsparabel dann unterhalb der k-Achse liegen. Wir lesen nun einfach aus der Skizze jeweils die entsprechenden Werte von k ab:

Zum 2. Fall:

D 0    Parabel (also oberhalb der k-Achse) für oder in Intervallschreibweise k

Wenn k Werte aus diesem Bereich annimmt, hat die Gleichung zwei Lösungen.

Zum 3. Fall:

D 0    Parabel (also unterhalb der k-Achse) für oder in Intervallschreibweise k

Nimmt k Werte aus diesem Bereich an, hat die Gleichung wegen D 0 keine Lösungen.

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