Diskriminante D

Es gilt somit:D für k ℝ

Die Gleichung hat für beliebige reelle Werte von k zwei verschiedene Lösungen. Eine Fallunterscheidung ist hier erfreulicherweise nicht nötig.

zu c.)

Wichtig ist hierbei die Angabe . Da k nicht gleich Null sein kann, ist die gegebene Gleichung immer gemischtquadratisch. Wäre k gleich Null zugelassen gewesen, hätten wir bedenken müssen, dass sich für k = 0 eine lineare Gleichung (Gleichung ohne Quadrat) ergeben hätte und auf diese Gleichung lässt sich die Mitternachtsformel gar nicht anwenden! Das liegt daran, dass hier der Parameter k in der Gleichung auch vor steht. Für k = 0 würde wegfallen und die Gleichung wäre nicht mehr quadratisch. Hätte die Angabe gefehlt, hätten wir den Fall k = 0 gesondert untersuchen müssen:Die für k = 0 entstehende lineare Gleichung , also hätte genau eine Lösung, nämlich x = 0.

Es gilt hier jedoch erfreulicherweise und wir können deshalb, wie bei den vorherigen Beispielen, die Anzahl der Lösungen einfach mit der Diskriminante ermitteln. Wir berechnen wieder zuerst einmal die Diskriminante D.

D =

So, hier wird es deutlich komplizierter. Die Diskriminante ist vom Parameter k abhängig und auch das Vorzeichen hängt von k ab, denn im Unterschied zur Teilaufgabe b.) kann hier die Diskriminante sowohl positiv, als auch negativ oder gleich Null werden. In diesem Fall liegt nämlich eine Differenz vor. Das Vorzeichen von D hängt also davon ab, ob 16 gleich, größer oder kleiner als ist. Das Problem ist dabei jedoch, dass wir nun neben einer quadratischen Gleichung auch quadratische Ungleichungen zu lösen haben. Das ist erheblich aufwendiger als das Lösen einer nichtquadratischen Ungleichung.

Wir beginnen unsere Fallunterscheidung mit dem einfachsten Fall, also D = 0. Dabei ergibt sich eine reinquadratische Gleichung, die leicht zu lösen ist.

1. Fall:

D = 0    |

|

Für und für hat die Gleichung jeweils genau eine Lösung.

Weiter geht es mit den heikleren anderen beiden Fällen. Für welche Werte von k wird D nun positiv bzw. negativ? Es ergeben sich die folgenden quadratischen Ungleichungen:

2. Fall: 3. Fall:

D 0    D 0   

Wir lösen diese beiden quadratischen Ungleichungen praktisch in einem Aufwasch. Dazu verwenden wir ein graphisches Lösungsverfahren. Jeweils die linke Seite der Ungleichungen ist ja identisch;wir stellen uns dazu die Hilfsparabel vor. Man kann sie natürlich auch als schreiben.

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