Parabelscharen
3. Bsp.:
Untersuche die Lage der Parabelschar 
mit 
ℝ 
zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten in Abhängigkeit von !
Lösung:
Es soll hier untersucht werden, für welche Werte des Scharparameters 
die Scharparabel genau einen, genau zwei verschiedene oder gar keine gemeinsamen Punkte mit der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten hat. Bei dieser Winkelhalbierenden handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung 
, da sie die Steigung m = -1 und den y-Achsenabschnitt t = 0 besitzt. (Genaueres dazu im Kapitel:Lineare Funktionen/Geraden)
Wir gehen wie im 2. Bsp. vor. Wir setzen also die Parabelschar 
und die Gerade 
gleich, lösen nach Null auf und untersuchen mit Hilfe der Diskriminante D die Anzahl der gemischtquadratischen Gleichung, welche durch das Gleichsetzen der Funktionen entsteht.
Hinweis:In dieser Aufgabe ist der Scharparameter der Parabelschar. Verwechsle den Scharparameter a nicht mit dem a aus der Mitternachtsformel! (Zur besseren Unterscheidung wurden hier zwei verschiedene Schrifttypen gewählt:a für den Scharparameter;a für den Koeffizienten in der Mitternachtsformel)
Allgemein schreibt man eine gemischtquadratische Gleichung 
und die Diskriminante 
aus der Mitternachtsformel. Die Formvariablen a, b und c in der Diskriminantenformel beziehen sich dabei natürlich auf die allgemeine Form der gemischtquadratischen Gleichung . Mit b ist in der Diskriminante daher wie immer der Ausdruck gemeint, der in der gemischtquadratischen Gleichung vor x steht, mit c die Zahl bzw. der Ausdruck ohne x und entsprechend mit a die Zahl bzw. der Ausdruck vor 
.
Um zu verdeutlichen, was in unserer Gleichung den Formvariablen a, b und c aus der Mitternachtsformel bzw. der Diskriminantenformel entspricht, wird nun in unserer Gleichung alles, was dem Koeffizienten a aus der Mitternachtsformel entspricht, in Rot dargestellt. Alles, was in unserer Gleichung dem Koeffizienten b aus der Mitternachtsformel entspricht, wird grün geschrieben und alles, was dem Koeffizienten c aus der Mitternachtsformel entspricht, in Blau dargestellt.
Es mag etwas seltsam erscheinen, dass 
(aus der Mitternachtsformel) in unserer Gleichung gleich 
ist. Aber in dieser Aufgabe ist nun ´mal blöderweise 
der Scharparameter. (Beachte wieder die unterschiedlichen Schrifttypen! Es werden nur in diesem Beispiel, wie gesagt, zur Unterscheidung extra zwei verschiedene Schrifttypen gewählt: für den Koeffizienten aus der Mitternachtsformel und für den Scharparameter.
