Einführung in die quadratischen Funktionen
Die Zahl vor dem 
bezeichnet man als Koeffizient a oder auch als Öffnungsfaktor, da es nur von a abhängt, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wie breit bzw. schmal sie ist. (Genaueres dazu folgt noch.) Steht gar keine Zahl vor , ist a = 1, wegen 
. Steht nur ein Minus-Zeichen vor dem , dann ist a = -1, weil 
.
Die Zahl vor x (einschließlich des Vorzeichens) nennen wir den Koeffizient b. Wenn x ganz fehlt, ist b = 0. Steht zwar x da, aber keine Zahl davor, ist b = 1, wegen 
. Ist nur ein Minus-Zeichen vor dem x, dann ist b = -1, weil 
.
Die Konstante, also die Zahl ganz ohne x, entspricht dem Koeffizienten c. Gibt es keine Konstante, dann ist c = 0.
An Hand der folgenden Parabelgleichungen solltest du verstehen können, was mit a, b und c jeweils gemeint ist.
Auch bei der nächsten Funktion lassen sich die Koeffizienten a, b und vor allem c nicht so schön ablesen.
Daher schreiben wir die Funktion etwas ausführlicher. Dann dürfte dir klar sein, was a, b und c bei 
jeweils ist.
Versuche nun bei der Funktion 
selbst abzulesen, was a, b und c ist!
Hast du es dir alleine überlegt?
Wenn du auf 
gekommen bist, hast du es verstanden!
Falls dir das noch nicht ganz klar ist, denke dir die Funktion ganz ausführlich geschrieben, also in der Form 
. Nun kannst du sicher a, b und c bei ablesen.
Statt der Bezeichnung „Koeffizienten“ wird auch der Begriff „Formvariablen“ für a, b und c verwendet. Damit ist also das Selbe gemeint, nämlich jeweils die Zahl (einschließlich des Vorzeichens) vor , vor x bzw. der Zahl ohne x. Von den Koeffizienten hängt die Breite und die Lage der Parabel im Koordinatensystem ab. Beispielsweise entscheidet das Vorzeichen von a darüber, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Von a hängt außerdem die Öffnungsweite der Parabel ab.
Zusammenhang zwischen a und der Form bzw. Lage der Parabel im Koordinatensystem:
nach oben geöffnete Parabel
nach unten geöffnete Parabel
Normalparabel
breiter als Normalparabel
schmäler als Normalparabel
Das Ganze noch einmal mit Worten ausführlicher erklärt:
Ist a eine positive Zahl, d.h. steht vor dem eine Zahl mit positivem Vorzeichen, ist die Parabel nach oben geöffnet. Zum Beispiel stellt 
eine nach oben geöffnete Parabel dar, weil a = + 0,5 positiv ist.
Ist a dagegen eine negative Zahl, d.h. steht vor dem eine Zahl mit negativem Vorzeichen, ist die Parabel nach unten geöffnet.
