Scheitelberechnung mit Hilfe der Differenzialrechnung

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist nichts anderes als das Extremum der quadratischen Funktion mit . Da bei einem Extremum die Tangente an den Graph der Funktion waagrecht verläuft, muss die Steigung, d.h. die erste Ableitung , gleich Null sein. Man muss daher nur die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen, um die x-Koordinate des Scheitels zu berechnen. Die y-Koordinate des Scheitels erhält man, wenn man in die Funktionsgleichung einsetzt. (Wie du weißt, ist nur eine andere Schreibweise für y.)

Scheitel = Extremum ⇔

Vorsicht:Du darfst x nicht etwa in die Ableitung einsetzen, wenn du die zugehörige y-Koordinate berechnen willst. Durch das Einsetzen von x in die erste Ableitung ergibt sich nämlich nicht der y-Wert, sondern die Steigung der Funktion an dieser Stelle. Würdest du in einsetzen, würde sich wieder Null ergeben, da am Scheitel die Steigung von gleich Null ist. Durch haben wir schließlich ermittelt!

Bsp.:

Berechne mit Hilfe der Differenzialrechnung die Koordinaten des Scheitelpunkts S der Parabel !

Lösung:

Scheitel (Extremum):

Wir bilden zuerst die erste Ableitung .

Erinnere dich an die Ableitungsregel:

Nun haben wir die x-Koordinate des Scheitels ermittelt und es fehlt nur noch die y-Koordinate des Scheitels. Dazu setzen wir x = -2 in ein;wir bilden also .

Der Scheitel hat daher die Koordinaten S(-2| 6).

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