Einführung in die Bruchgleichungen
Diese Gleichung ist keine Bruchgleichung, da x überhaupt nicht im Nenner auftritt.
Hinweis für Schüler ab der 9. Klasse:
Kommt die Variable x zwar im Nenner, aber auch noch unter einer Wurzel vor, liegt eine Wurzelgleichung und keine Bruchgleichung mehr vor. Für die Lösung von Wurzelgleichungen gelten wieder andere Regeln als bei den Bruchgleichungen. Hier gilt es noch weitere Dinge zu beachten! Die folgende Gleichung ist ein Beispiel einer solchen Wurzelgleichung:
x kommt hier zwar im Nenner vor, aber eben auch unter der Wurzel. Daher liegt keine Bruchgleichung, sondern eine Wurzelgleichung vor. Wurzelgleichungen müssen erst von Gymnasiasten (G8) und von Realschülern des mathematischen Zweiges ab der 9. Klasse beherrscht werden. Für Schüler der Technik-FOS oder Technik-BOS sollte das bereits Grundwissen sein. Mehr dazu im Kapitel Wurzelgleichungen.
Anzahl der Lösungen einer Bruchgleichung:
Wie viele Lösungen eine Bruchgleichung besitzt, kann man allgemein nicht so leicht sagen. Eine Bruchgleichung kann nämlich überhaupt keine, eine, zwei, drei usw. oder sogar unendlich viele Lösungen haben. Bei der Angabe der Lösungsmenge muss, wie bereits erwähnt, immer die Definitionsmenge D der Bruchgleichung beachtet werden. D.h. man muss überprüfen, ob die für x berechneten Werte überhaupt innerhalb der Definitionsmenge D liegen. Fällt ein für x berechneter Wert mit einer Definitionslücke (= Zahl, die man nicht einsetzen darf) zusammen, ist dieser Wert natürlich keine Lösung der Bruchgleichung, da beim Einsetzen in die Gleichung der Nenner gleich Null werden würde. (Die Division durch Null ist bekanntlich nicht definiert.)
Beispiel:
Ermittle die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 
über der Grundmenge G = ℚ!
Lösung:
Da x im Nenner vorkommt, handelt es sich bei dieser Gleichung um eine Bruchgleichung. Deshalb überlegen wir uns als erstes die Definitionsmenge. (Das hätte man auch dann machen müssen, wenn es gar nicht explizit in der Aufgabe gefragt worden wäre!) Welche Werte der Grundmenge darf x annehmen? Das bedeutet hier:Welche rationalen Zahlen (vergleiche dazu die Angabe Grundmenge G = ℚ = Menge der rationalen Zahlen) kann man für x in die Bruchgleichung überhaupt einsetzen, ohne dass der Nenner Null ergibt? Oder einfacher gesagt:Was darf man für x einsetzen, damit der Nenner ungleich Null ist. Weil es leichter ist sich zu überlegen, für welche x der Nenner gleich Null wird, überlegt oder berechnet man vorab für welche Werte von x der Nenner Null ergibt und schließt nachher genau diesen Wert bzw.
