Definitionsmenge ermitteln mit x^2 im Nenner:Variante 1 (Bsp. 1d)

Nach dem Ausklammern liegt die Gleichung in der folgenden Form vor:

Die beiden Brüche auf der rechten Seite der Gleichung stellen kein Problem dar:Man erkennt sofort, dass die Klammer Null ergibt, wenn man 3 für x einsetzt. Ebenso ist leicht zu erkennen, dass die Klammer für gleich Null wird.

Das Problem ist die Klammer im Nenner des ersten Bruchs, da hier die Variable x zum Quadrat vorkommt. An dieser Stelle passiert sehr oft ein Fehler! Versuche nun einmal selbst herauszufinden, was man für x im ersten Nenner nicht einsetzen darf!

Du musst also die Gleichung lösen. Nach ein wenig Überlegung bist du vermutlich darauf gekommen, dass der Ausdruck Null ergibt, wenn man für x den Wert 3 einsetzt, denn . Das ist tatsächlich eine der Definitionslücken des ersten Bruchs. (Es ist reiner Zufall, dass die selbe Definitionslücke auch beim ersten Bruch auf der rechten Seite auftritt.)

Soweit ist das zwar richtig, doch fehlt jetzt noch eine Definitionslücke des ersten Bruchs, also des Bruchs mit dem Quadrat von x im Nenner. Es gibt nämlich noch eine weitere Lösung der Gleichung ! So, jetzt überlege bitte noch ein wenig, bevor du weiter liest. Was könnte denn diese zweite Lösung sein? Hm…?

Bist du d´rauf gekommen? Wenn nicht, bedenke doch ´mal Folgendes:Auch das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, denn Minus mal Minus ergibt wieder Plus und ein Quadrat bedeutet nichts anderes als das Produkt einer Zahl mit sich selbst.

Also, die zweite Lösung der Gleichung ist . Genau diese Lösung wird aber total oft vergessen! Sei ehrlich:Hättest du ohne die ganzen Hinweise wirklich beide Definitionslücken des ersten Bruchs gefunden? Wahrscheinlich nicht, doch das ist auch gar nicht schlimm! Manche Fehler muss man einfach erst ´mal machen. Hoffentlich denkst du in Zukunft daran:Vorsicht mit im Nenner! Da kann es auch zwei verschiedene Definitionslücken geben! Das hängt mit der geraden Potenz zusammen, wie schon oben erklärt. Daher tritt beispielsweise bei (ungerade Potenz) im Nenner dieses Problem nicht auf;da gibt es wirklich nur eine Lücke!

Nun fassen wir unsere Definitionslücken noch einmal zusammen:Der Bruch hat die Definitionslücken +3 und – 3, der Bruch hat gar keine Definitionslücke, da im Nenner kein x vorkommt und der Nenner somit nicht gleich Null werden kann. Der Bruch hat wieder die Definitionslücke +3 und der Bruch noch einmal die Definitionslücke – 3. Insgesamt hat die Bruchgleichung daher die Definitionsmenge:D = ℚ

Bei dieser Gleichung hättest du noch ´mal Glück gehabt, auch wenn du die zweite Definitionslücke beim ersten Bruch übersehen hättest, weil die Lücke – 3 ebenfalls beim Bruch herausgekommen ist. Das war aber reiner Zufall. Du kannst nicht davon ausgehen, dass das immer so ist. Also wirklich Vorsicht bei im Nenner!