Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Doch wie kommt man denn überhaupt auf den Bruch in faktorisierter Form? Wie faktorisiert man also den Term ?

Zuerst brauchst du die Lösungen der Gleichung . Diese haben wir vorher schon berechnet. Die Lösungen sind: x = 7 und x = 13

Außerdem wissen wir, dass ein Produkt gleich Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Damit sich die Lösungen x = 7 und x = 13 aus einer Gleichung der Form ergeben, müssen in den Klammern hinter dem x jeweils die Zahlen – 7 und – 13 stehen. Die Gleichung hat dann genau die Lösungen x = 7 und x = 13. Die ursprüngliche Gleichung hat ebenfalls genau diese Lösungen. Von der Gleichung kommt man also auf die Gleichung , indem man in den Klammern hinter dem x jeweils eine der Lösungen x = 7 bzw. x = 13 mit umgedrehten Vorzeichen schreibt. Daher gilt für den Term im Nenner des Bruchs:

Und somit gilt auch:

Wie du von der ursprünglichen auf die faktorisierte Form (Produktform) kommst, wird noch wesentlich ausführlicher bei Faktorisierter Funktionsterm erklärt.

2. Bsp.:

Ermittle die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden drei Gleichungen! Vergleiche dann die Auswirkung der Definitionsmenge auf die Lösungsmenge in den drei vorliegenden Fällen!

a.)

b.)

c.)

Lösungshinweis:Klammere sowohl im Zähler als auch im Nenner soweit möglich aus! Danach lassen sich diese Gleichungen soweit kürzen, dass du sie sicher lösen kannst. Aber Vorsicht:Die Definitionsmenge muss an der ungekürzten Gleichung ermittelt werden!

Da wir hier eigentlich noch gar nicht besprochen haben, wie man Bruchgleichungen im Allgemeinen löst, wurden diese Aufgaben extra so ausgewählt, dass du sie ganz leicht lösen kannst, nachdem du ausgeklammert und gekürzt hast. Du solltest es wirklich erst einmal alleine versuchen, bevor du dir die folgende Lösung anschaust. Achte auch ganz besonders auf die Definitionsmenge, wenn du die Lösungsmenge angibst! Denk daran, dass eine Zahl, die gar nicht zur Definitionsmenge gehört, keine Lösung der Gleichung sein kann. Also, versuche dich jetzt gleich ´mal selbst an den Aufgaben!

Hast du es schon selbst probiert? (Wäre echt gut, wenn du es wenigstens versuchen würdest. Auch wenn es vielleicht noch nicht ganz stimmt, so lernst du doch trotzdem ´was. Den gleichen Fehler, falls du überhaupt einen gemacht hast, wirst du in Zukunft kaum noch einmal machen.) Wie auch immer, nun machen wir das Ganze gemeinsam.

zu 2a.)

Vorweg noch einmal die Angabe:

Lösung:

Als erstes müssen wir uns überlegen, was man im Zähler und im Nenner der beiden Brüche jeweils ausklammern kann.

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