Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Bisher haben wir somit herausgefunden, dass bei x = 7, x = 0 und x = 13 Definitionslücken der Bruchgleichung vorliegen. Nun bleibt aber noch der letzte Bruch zu untersuchen. Da wird es schon schwieriger! Für welche Werte von x wird der Nenner gleich Null? Daher setzen wir auch diesen Nenner gleich Null und versuchen nach x aufzulösen.

Im Kopf finden wir die Lösung(en) bestimmt nicht. Da kommen wir um eine Rechnung nicht herum. Doch wie löst man denn diese Gleichung eigentlich nach x auf? Das Problem besteht ja darin, dass sowohl als auch x und eine konstante Zahl in der Gleichung vorkommen. Eine binomische Formel ist es auch nicht, x ausklammern geht nicht und Wurzelziehen auch nicht! Hm??? Echt blöd! Hast du vielleicht eine Idee?

Kleiner Tipp:Es liegt hier eine gemischtquadratische Gleichung, also eine Gleichung der Form (mit ), vor und solche Gleichungen werden immer mit welcher Formel gelöst? Na? … Richtig, mit der Mitternachtsformel!

Du brauchst also nur die entsprechenden Werte von a, b und c aus der Gleichung ablesen und in die Mitternachtsformel einsetzen. Damit es dir leichter fällt, a, b und c abzulesen, solltest du die Gleichung jedoch vorher so umstellen, dass vorne , dann x und hinten die Zahl ohne x steht.

Vor steht eigentlich die Zahl 1;daher gilt:a = 1, b = – 20, c = 91

Eingesetzt in die Mitternachtsformel ergibt das:

Nun wissen wir, dass der Nenner für x = 13 und für x = 7 Null ergibt. Diese Werte waren zufälligerweise auch schon bei den vorher berechneten Definitionslücken dabei. Es existieren somit nur die Definitionslücken x = 0, x = 7 und x = 13. Die Definitionsmenge bezüglich der Grundmenge G = ℚ(vergleiche Angabe!) lautet daher:

D = ℚ

Anmerkung:

Weil du nun die Definitionslücken des Bruchs kennst, kannst du den Nenner jetzt auch leicht faktorisieren, also als Produkt schreiben. Wenn man weiß, wie das geht ist es wirklich einfach. Doch wie geht das denn nun? Schaue dir den Bruch in seiner faktorisierten Form ´mal an! Er lautet:

Was fällt dir daran auf? In den Klammern stehen, allerdings mit umgedrehten Vorzeichen, die Lösungen der Gleichung . (Die Lösungen sind ja x = +7 und x = +13.)

Dass die beiden Brüche und wirklich äquivalent (gleich) sind, kannst du selbst leicht überprüfen:Wenn du die beiden Klammern im Nenner des einen Bruchs ausmultiplizierst, kommst du auf den anderen Bruch. Das ist nicht weiter schwer.

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