Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Wir haben beim ersten Bruch den Faktor und beim zweiten Bruch den Faktor komplett weggekürzt, die beiden Faktoren fallen also im Nenner der Gleichung durch das Kürzen vollständig weg. Dadurch verliert man die beiden Definitionslücken x = 2 und x = – 2. Die Zahlen x = 2 und x = – 2 können ja in die gekürzte Form eingesetzt werden, ohne dass der Nenner Null ergibt. Die Definitionslücken x = 6 und x = 0 bleiben aber auch in der gekürzten Form der Gleichung erhalten. Würde man x = 6 oder x = 0 in die gekürzte Gleichung einsetzen, wäre der Nenner gleich Null. An diesen Stellen ist auch die gekürzte Gleichung nicht definiert. Die Definitionsmenge D* lautet deshalb:

D* = ℚ bzw. D* = ℝ

Zusammenfassung:

Kürzt man einen Faktor, der Null ergeben kann, in einer Bruchgleichung komplett aus dem Nenner heraus, so verliert man eine Definitionslücke.

Nun ist dir hoffentlich klar, warum es besser ist, wenn du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung immer an der ungekürzten Gleichung ermittelst. Die Gefahr ist einfach zu groß, dass du durch das Kürzen einzelne Definitionslücken der Bruchgleichung verlierst. Natürlich kannst du dir auch jedes Mal überlegen, ob bei einer vorliegenden Aufgabe ein Kürzen zu einer Änderung der Definitionsmenge führt oder nicht. Wenn du sicher ausschließen kannst, dass durch das Kürzen keine der Definitionslücken verloren geht, dann darfst du auch die Definitionsmenge der gekürzten Gleichung verwenden. Doch warum solltest du dir jedes Mal darüber den Kopf zerbrechen! Nimm einfach die ungekürzte Gleichung und ermittle immer daran die Definitionsmenge! Das stimmt auf jeden Fall.

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