Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Die Definitionsmengen D und D* sind daher identisch:

D* = ℚ bzw. D* = ℝ

Man verliert hier durch das Kürzen keine Definitionslücke. Das liegt daran, dass nur Faktoren gekürzt wurden, die immer ungleich Null sind.

Vergleiche noch einmal die beiden Teilaufgaben 3a.) und 3b.) miteinander!

In der Teilaufgabe 3a.) wurde ein Faktor gekürzt, der Null ergeben konnte. Wenn du einen Faktor, der den Wert Null annehmen kann, komplett aus dem Nenner weg kürzt, wird die Definitionsmenge beeinflusst! Durch das Kürzen geht hierbei eine Definitionslücke verloren. Das ist auch der Grund dafür, dass du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung immer in der ungekürzten Form der Gleichung ermitteln sollst. Da kannst du dann keine Definitionslücke übersehen. Wird ein Faktor, der den Wert Null annehmen kann, allerdings nicht vollständig aus dem Nenner gekürzt, d.h. er kommt nach dem Kürzen noch im Nenner vor, geht die entsprechende Definitionslücke nicht verloren und die Definitionsmenge ändert sich durch das Kürzen nicht. Dies kannst du gleich an den noch folgenden Teilaufgaben 3c.) und 3d.) sehen.

In der Teilaufgabe 3b.) wurden nur solche Faktoren gekürzt, die entweder Konstanten (d.h. konkrete Zahlen) waren, oder Faktoren, die zwar die Variable x enthielten, die aber nicht gleich Null werden konnten. Das Kürzen solcher Faktoren beeinflusst die Definitionsmenge nicht, da hierbei keine Definitionslücken verloren gehen können. Werden Faktoren, die nicht den Wert Null annehmen können, gekürzt, ändert sich nichts an der Definitionsmenge! Konstanten, also normale Zahlen ohne x, darfst du beispielsweise ruhig kürzen;dadurch ändert sich die Definitionsmenge nicht.

Du solltest diese Aussagen bei den folgenden Teilaufgaben noch einmal selber überprüfen.

zu 3c.)

Hier noch einmal die Angabe:

Lösung:

Vorweg ein wichtiger Hinweis:Der Nenner des ersten Bruchs enthält eine Klammer mit Quadrat. Rechne dieses Quadrat nicht aus! Das Ausrechnen würde die Aufgabe nicht einfacher, sondern schwieriger machen. Wenn man doch ausrechnen wollte, müsste man übrigens die zweite Binomische Formel anwenden oder, wenn man die noch nicht gelernt hat, rechnen. Also Vorsicht: Doch hier wollen wir, wie gesagt, das Quadrat der Klammer gar nicht ausrechnen. Sonst ließe sich erstens die Definitionsmenge nicht mehr sofort erkennen und zweitens nachher nicht mehr kürzen.

---