Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Wir haben also den Faktor x + 4 weggekürzt. Dadurch verändert sich die Definitionsmenge, da der Nenner nun bei x = – 4 nicht mehr Null ergibt. Die Definitionsmenge D* lautet daher:

D* = ℚ bzw. D* = ℝ

Wenn man D und D* miteinander vergleicht, stellt man fest, dass sich durch das Kürzen des Faktors x + 4 die Definitionsmenge verändert. Man verliert praktisch durch das Kürzen eine Definitionslücke.

zu 3b.)

Hier noch einmal die Angabe:

Lösung:

Wir fangen wieder mit der Definitionsmenge D der ungekürzten Gleichung an. Für welche Werte von x wird einer der Nenner Null? Bei dem Bruch auf der rechten Seite der Gleichung ist es offensichtlich, dass der Nenner für x = 0 den Wert Null annimmt. Der Bruch enthält kein x;der Nenner kann also nicht Null werden.

Der erste Bruch auf der linken Seite scheint schwieriger zu sein;er ist es aber gar nicht. Wir brauchen bei diesem Bruch nur 2x im Nenner auszuklammern und erhalten so im Nenner ein Produkt.

Für welche x wird nun der Nenner des ersten Bruchs gleich Null? Wir müssen also folgende Gleichung lösen:

Da ein Produkt gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, setzt man, wie schon in Teilaufgabe 3a.) gezeigt, die beiden Faktoren einzeln gleich Null. Man braucht sich deshalb nur zu fragen, für welche Werte von x der Faktor Null ergibt bzw. für welche Werte von x die Klammer Null ergibt. Der Faktor wird Null, wenn man für x die Zahl 0 einsetzt;die Klammer wird überhaupt nicht Null. Das liegt daran, dass ein Quadrat, wegen seiner geraden Potenz niemals negativ werden kann. müsste aber gleich – 1 sein, damit Null ergeben würde. Das ist wie gesagt nicht möglich, daher kann die Klammer nicht Null ergeben. Der erste Bruch hat daher nur eine Definitionslücke bei x = 0;dies ist auch die Definitionslücke des Bruchs auf der rechten Seite der Gleichung. Somit gibt es hier in der ganzen Bruchgleichung nur eine einzige Definitionslücke bei x = 0.

Die Definitionsmenge D der ungekürzten Gleichung lautet daher:

bezüglich G = ℚ(8. Klasse) bezüglich G = ℝ (ab 9. Klasse)

D = ℚ bzw. D = ℝ

Nun kürzen wir beim ersten Bruch auf der linken Seite mit 2 und ;den Bruch auf der rechten Seite kürzen wir mit 10.

Wir haben also neben den Konstanten 2 und 10 den Faktor weggekürzt. Dadurch verändert sich die Definitionsmenge jedoch nicht, da der Faktor nicht Null ergibt.

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